从FDM到OFDM

我们在用收音机收听广播的时候，会发现不同的电台'对应'不同的频率，只要我们旋转收音机的频率调整按钮，就可以听到想听的节目。

图2 传统的频分复用

图2中《西游记》《红楼梦》《水浒传》占用不同的频率区域，收音机通过一个带通滤波器，滤除掉其他的频率，只保留《红楼梦》的信息。这就是典型的FDM方法。

FDM就是Frequency Division Multiplexing，频分复用系统。不同的频带给不同的子载波使用，通过带通滤波器进行过滤，保留希望留下的信息。

图3 FDM与OFDM的对比

OFDM加了个'O'，这个O是Orthogonal正交的意思，为什么要正交呢？

我们先看图3，OFDM相比于FDM，把每个子载波向一起进行了压缩了。

图4 OFDM节省了带宽资源

在子载波数量一致的情况下，毫无疑问可以节省频率资源。但是这些子载波被压缩到了一起，相互交织缠绕，到了接收端，滤波器已经无法'区分'不同的子载波了，那么怎么办？

正交性质可以解决这个问题。

OFDM系统的实现

OFDM技术的总体流程可以表示成图5。图5中，有码元a1到ak，共k个子信道，每个子信道对应一个子载波，这些子载波与ak相结合调制(基带调制)，调制结束后再进行射频调制，图中省略用天线图案表示。此后，空中叠加发送，接收端分别接收后进行解调。

图5 OFDM的简易实现

刚开始的并行的一堆数据ak怎么来？

先要把串行的数据流，转化成并行数据。

每一个并行后的数据，我们称之为码元，持续时间为Ts；并行后，利用相互正交的子载波进行基带调制。如图6所示。

图6 OFDM串行数据转变成并行码元，注意码元周期Ts

如果OFDM系统有N个子信道，那么每个子信道采用的子载波可以表示成：

其中Bk为第k路子载波的振幅，它受基带码元的调制；fk为第k路子载波的频率，φk为第k路子载波的初始相位。那么N路子信号之和可以表示为：

为了使N路子信道信号在接收时能够完全分离，要求它们满足正交条件。

在码元持续时间Ts内，任意两个子载波都正交的条件是：

根据初中学习的三角公式，可以将上式改写成

通过求解上式，我们发现：如果要满足正交条件，那么子载波频率fk必须是1/2Ts的整数倍。

以此类推：各个子载波间隔Δf必须满足1/Ts的整数倍，最小MIN的Δf是1/Ts。

在一个子信道中，子载波的频率为fk，码元持续时间为Ts，则此码元的波形和其频谱密度如图7所示

图7 N个子信道中，第k个子信道对应的时域波形与频域波形

在OFDM系统中，各相邻子载波的频率间隔使用了最小容许间隔1/Ts。

故各子载波合成后的频谱密度曲线如图8所示。

虽然由图8上看，各路子载波的频谱重叠，但是实际上在一个码元持续时间内它们是正交的。故在接收端很容易利用此正交特性将各路子载波分离开。

采用这样密集的子载频，并且在子信道间不需要保护频带间隔，因此能够充分利用频带。

这是OFDM的一大优点。

由上述正交性的证明可以发现，初始相位φk与幅度Bk的取值并不会影响正交性。所以各子载波的调制过程中，不管采用什么调制制度，相位与幅度的变化不会改变正交性。

所以在实际的OFDM系统中，通常采用BPSK/QPSK/4QAM/64QAM等多种调制制度，其各路频谱的位置和形状没有改变，仅幅度和相位有变化，故仍保持其正交性。

这样，在实际的通信过程中，可以按照各个子载波所处频段的信道特性采用不同的调制制度，并且可以随信道特性的变化而改变，具有很大的灵活性。

这是OFDM体制的又一个重大优点。

所谓频带利用率：就是单位带宽传输的比特率。由于频谱资源的稀缺性，我们当然希望频谱利用率越高越好。

设一OFDM系统中共有N路子载波，子信道码元持续时间为Ts，每路子载波均采用M进制的调制，则它占用的频带宽带等于

可以在图8中数一下，看是不是N+1个1/Ts，这个1/Ts是什么，可以参考附录1。

频带利用率为单位带宽传输的比特率

当N比较大时，频带利用率将达到log2M，这是传统单载波调制的2倍(读者可以自行证明)

OFDM可以提高频带利用率，但是必须要要求子载波之间相互正交。

接收端需要大量的积分器与振荡器，这些硬件的稳定性难以保证，射频功率放大器的线性度也难以保证。所以OFDM技术虽然出现很早，但其应用仅局限在军事领域，难以扩展到民用通信设备。

自20世纪80年代以来，随着DSP数字信号处理技术的发展，FFT技术的实现逐渐低成本，OFDM开始高速发展，首批应用OFDM技术的无线制式时WLAN和WiMAX等。

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