从平面到空间，需要把一张纸卷曲、折叠，穿插，或者直接揉成一团。揉成一团的纸可以重新摊平，一个纸箱子也可以摊平，这是从三维空间回到平面的逆向工程，也就是展开。这在立方体上不难操作，甚至于把包扎成一团的布染色之后重新摊平，获得辐射状图案---我们称之为“扎染”的传统染色工艺，都不难想象。但球体的表面却无法简单地摊平----我们无法把一个橘子的橘子皮摊平在桌面上而不弄破它。
于是地图投影学成了令人不安的问题。我们今天常见的世界地图是基于荷兰地图学家的墨卡托投影法，是一种圆柱形投影，结果导致格陵兰岛显得比非洲还大。为了把地球变成地图，人们尝试过不同种类的投影术，得到看上去完全不同的世界地图。
人类很早就意识到，要把三维物体转化为平面图形，最简单的方式是投影。用灯光把人的侧影投在墙上描下来得到剪影，这就是一种投影。小孔成像暗箱是把三维空间的影子投影在毛玻璃上，后来的照相机则是把影子投影在感光胶片或CCD上。CCD的感光元件本身就是模仿了我们的眼睛里视网膜感光细胞。
二维世界其实是一种概念，一种人为创造。真实世界中其实并不存在二维物体。一张薄纸放大看也有厚度。投影其实是我们从不同视角认识世界的产物。人类可以从很多地方获得关于投影的启示：烟熏火燎的房间中家具搬走之后墙上留下痕迹，手掌挡住的地方没有被喷雾染色，这都展示了投影的可能。艺术史中也有郑板桥观察竹子在粉墙和窗户上的投影的传说。
为了获得较为准确和稳定的造型，人们最经常假设平行光和平行的投影面。依据这种投影理解，建构起工业零件制图的基本规则--用三视图投影在描述三维物体的长、宽、高，从而进一步描述其结构。因为是平行光，也就无需考虑光源的远近。
因此有人就成功地利用三视图投影的这种特质，专门为其设计古怪的造型，来制造视错觉和揭密的快感。
这是一个根据视角看起来像三个不同数字的雕塑，它最近安装在布拉格的佛罗伦萨开发区外。作者是英国艺术家詹姆斯·霍普金斯James Hopkins。他还创作了很多种类的透视雕塑。这显然和我们在视错觉时研究过的强制透视有关。说穿了，强制透视就是一种只提供单一投影面的松散结构。
角色反转，2005
凯尔、斯坦、卡特曼和肯尼，2006
这种巧合的逻辑很快就被街头艺术家学会。马蒂厄·罗伯特·奥蒂斯 Robert-Ortis是一个从里昂美术学院辍学的艺术家，他用不同视角所看到的铁线结构投影在平面上所形成的不同形象为自己在社交媒体上赢得了八千万粉丝。他最著名的雕塑之一是一个线框从侧面看它看起来像一头大象。当你走到棋子前面时，它突然变成了两只长颈鹿。
讨论投影，自然不可能不提及成名已久的英国艺术二人组Tim Noble和Sue Webster创作的垃圾雕塑。不过比起下面要谈及的数学家和化学家的艺术工作，这类艺术家的作品就多少有些像是街头艺术的灵巧而已。他们本质上就是一种手影游戏，今天，Shadow Art一词已经成为设计领域的常见招数。
数学艺术家亨利·萨格曼（Henry Segerman）出身立体几何学与拓扑学专业，拥有斯坦福大学的数学博士学位。亨利·萨格曼和华威大学的索尔施莱默（Saul Schleimer）创新地基于立体投影的数学，用小灯泡来实现神奇的阴影，让球壳上的曲线神奇地产生了一个完美的正方形网格，阴影是3D球体的2D贴图。这是制图师最初用来绘制地球地图的方法。他们是反过来操作的，从地图开始，然后在球体上画出图案。他们首先选择将要在地面形成的网格图案，然后使用设计软件计算出可以生成它的外壳图案该怎么变形。
这个想法其实起源于19世纪德国数学家奥古斯特·莫比乌斯（著名的莫比乌斯带的提出者）的一张草图，研究了球形瓷砖在立体投影下的外观。亨利和索尔在莫比乌斯的设计基础上用3D打印构成了雕塑。
双曲半球。当光源在无穷远处时，会得到贝尔特拉米-克莱因模型的图像。当光源放在赤道并照在墙上时，就得到了庞加莱半平面模型。
德国图宾根大学Gerhard Huisken教授创办的IMAGINARY是一个致力于开放和互动数学的平台。他们和亨利·萨格曼一起推出了一个小装置来展示地图投影学。
一个非常小的LED将3D打印地球的阴影投射到墙上，展示了立体投影。观众可以自由旋转地球仪，将世界的不同部分放在投影的中心，看看地图的扭曲是如何变化的。以查看地图变形的变化。
有一些设计师如Greg Blanpied、Jason Cole等人直接盗用了研究成果，生产烛台。在社交媒体的评论区，招来这样的评论：
请参看HYBYCOZO的作品，他们在海滩上制作了几个具有这种效果的“大型”雕塑。我不能说他们是第一个这样做的，但他们肯定已经成为最知名的，并激励了许多制造商学习使用激光切割机。
约翰·蒙泰恩（John Muntean）拥有固态碳13核磁共振博士学位，在阿贡国家实验室的固态核磁共振光谱学家，但仍然有时间玩乐高！这其实源于他的本职工作：
光谱分析通常在溶液相中进行，其中分子运动平均了所研究分子的方向。他解释说，在无定形固体中，每个方向都存在。但是通过以所谓的魔角旋转样本，研究人员可以获得所有这些不同方向的单一值。但是人们很难理解这种“魔角”的重要性，为了展示它，约翰·蒙泰恩在1986年创造了第一个魔角雕塑。
他用乐高拼装成看起来是三维的造型，但当灯光在平面上制造二维投影时，每转到一定角度，就会出现一个具象形象。转一圈，会出现三种形象。创作艺术作品的数学与他在科学中使用的完全一样。
“作为一名科学家和艺术家，我对感知如何影响我们的宇宙理论感兴趣。魔角雕塑似乎只不过是一个抽象的木雕，用一根杆串成串并安装在一个底座。但是，当从上方照明并以魔角（54.74º）旋转时，它会投射出三个交替的阴影。每旋转 120º，无定形的阴影就会演变成独立的形式。我们对自然的科学解释往往取决于我们的视点。视点很重要”。
上述案例基本都使用了平行光。但如果使用中心投影法，则会得到相当不同的结果。如果投影面有角度或者凹凸不平，也会产生极为多变的投影效果。有一类人体摄影喜欢安排人体在百叶窗形成的投影中，利用本来平行的光影随着人体结构的变化而弯曲，就是故意利用这类投影规律。
日本艺术家山下久美（Kumi Yamashita）的工作可以认为就是这种非平行光的案例。这位出生于日本现居纽约的艺术家长期以来一直用墙面的小物件构成的阴影工作， 她的大部分艺术作品都是由字母和数字，通过仔细测量的雕塑，贴近墙面的光源所制造的拉长的投影会形成真实的人影。
木椅，2015
碎片，2009，铸造树脂，单一光源，影子 新墨西哥历史博物馆，圣达菲
2018年我在北京民生美术馆的《邱注上元灯彩计划》开幕表演《古玩市场》的场景中，我在很多地摊垫布上事先摆上多种不同物品，用喷枪喷洒雾状颜料，形成带有物体轮廓的剪影，这个做法也是把三维物体投影化。
在这个意义上，不管是曼雷的“雷影摄影”还是劳森伯格在黑山学院玩过，今天小朋友都在玩的蓝晒摄影，也就是接触印像技术，本质上也都是一种三维物体的平面投影。
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