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小概率事件的原理分析及应用
阅读：17次页数：3页2014-03-04举报
小概率事件的原理分析及应用
1 2张红玉 ,杨红梅
( 1. 承德石油高等专科学校 数理系 ,河北 承德 067000;
)067000 2. 承德石油高等专科学校 建筑工程系 ,河北 承德
摘要 : 小概率事件原理是概率论中的一个基本又具有实用意义的原理 ,在这一原理分析的基础上通过几个实
例介绍了其在几个方面的应用 。
关键词 :小概率事件 ;小概率事件原理 ; 小概率事件分析
( ) 文章编号 : 100829446 200802 20043 203 中图分类号 : O211 文献标识码 : B
Ana ly s is an d A pp l ica t ion of L ittle Proba b il ity Even t Pr in c ip le 1 2ZHAN G Hong2yu, YAN G Hong2m e i
( 1. D ep a rtm en t of M a them a tic s and Physic s, Chengde Pe tro leum Co llege, Chengde 067000 , H ebe i, Ch ina;
)2. D ep a rtm en t of Con struc tion Enginee ring, Chengde Pe tro leum Co llege, ChengD e 067000 , H ebe i, Ch ina
A b stra c t: The little p robab ility even t p rinc ip le is an impo rtan t and ba sic theo rem in p robab ility wh ich
ha s p rac tica l app licab le m ean ing and is often u sed in da ily life. Th is p ap e r in troduce s the app lica tion
of th is p rinc ip le by m ean s of seve ra l examp le s on the ba sis of the ana lysis of the p rinc ip le.
Key word s: little p robab ility even t; little p robab ility even t p rinc ip le; little p robab ility even t ana lysis 1 小概率事件原理
1. 1 小概率事件
概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标 。在概率论中 ,我们把概率很接近零的事件称为 小概率事件 。那么多大的 概 率 值 算 小 概 率 呢 ? 这 在 不 同 的 实 际 问 题 中 有 不 同 的 标 准 。一 般 多 采 用 0101、0105两个阀值 ,即事件发生的概率在 0101或 0105以下的事件称为小概率事件 ,这两个值称为小 概率标准 。当事件的出现会发生严重后果时应选的小一些 ,否则可以选的大一些 。 112 小概率事件的原理分析
小概率事件的原理又称为似然推断原理 , 即 :如果一个事件发生的概率很小 , 那么在一次试验中就 可以把它看成是不可能发生的事件 。实际上在多次重复试验中情况就不同了 。假设某试验中事件 A 发
εε生的概率为 , 不管正数 如何小 , 如果把试验不断独立重复下去 , 那么 A 迟早必然会出现一次 , 从而也
ε( ε) 必然会出现任意多次 。因为第一次试验中 A 不出现的概率为 1 - , 则前 n 次 A 都不出现的概率为 1 - n n ( ε) , 因此前 n 次试验中 A 至少出现一次的概率为 1 - 1 - , 当 n ??时 , 概率趋近于 1, 这表示 A 迟 早出现一次的概率为 1, 出现 A 以后把下次试验作为第一次 , 重复上述推理 , 可见 A 必然还会出现 。
由以上分析可看出 , 小概率事件并不是不可能事件 , 所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率 事件 。
2 小概率事件原理在实际生活中的应用
小概率事件原理是概率论中具有实用意义的一个基本理论 , 它总在不经意中指导着我们的生活 , 下
收稿日期 : 2008204 201
( ) 作者简介 :张红玉 1979 - ,女 ,陕西华阴人 ,承德石油高等专科学校数理系助教 ,主要从事应用数学方面的教学 与研究工作 。
1/3页
〃44〃 承德石油高等专科学校学报2008年第 10卷 第 2 期
面以实例来说明小概率事件原理在实际生活中的应用 。
211 在街头摸彩中的应用
例 1 在某一夜市地摊上 ,摊主拿一签袋 ,内装黑 、白围棋子各八个 。规定 : 不花钱每人从袋中随意 摸八个棋 ,按摸出的黑白棋给如下奖励 :全黑或全白奖励 20元 ;一黑七白或一白七黑奖励 15 元 ;两黑六 白或两白六黑奖励一元 ;三黑五白或三白五黑奖励五毛钱 ;黑白各四个摸球人必须花十块钱买一个小饰 品 ;由于无本钱 ,许多心怀侥幸者都想驻足一试 ,然而得前两项奖的人几乎没有 ,而大多数人都花钱抱着 小饰品回家 ,为什么 ?
k 8 - k 8 ()分析这一模型 , 在任取的八个棋子中 , 取到 k 个黑 白 棋的概率为 P= CC/ C, 故 , 用此式可计 k 8 8 16 算出取得黑 (白 )棋子个数为 k 的概率分布为 :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 k P 01000 08 01005 01060 9 01243 7 01384 8 01243 7 01060 9 01005 01000 08 k
从上面的结果我们可以看出 , 花十块钱买饰品回家的概率是 38148 % , 奖励五毛钱的概率是 01243 7 + 01243 7 = 4817 % , 奖励一块钱的概率是 01060 9 + 01060 9 = 1211 % , 而得到 15 元和 20 元奖励的可能 性分别仅有 10 ‰和 0116 ‰, 可能性几乎为零 。而后两种情况就是我们说的小概率事件 。由此可看出之 所以大多数人都败兴而归就是由于摊主用了小概率事件的原理 。可见在这种游戏中中大奖几乎是不可 能的 , 而得到五毛钱和花十块钱买小饰品的概率反而较大 , 摊主肯定是赚钱的 。实际上买彩票也是这个 道理 , 中奖率极低 , 故买彩票要怀着一颗平常心 , 主要是献爱心 。
212 在保险业中的应用
例 2 某人寿保 险 公 司 有 3000 个 统 一 年 龄 阶 层 的 人 参 加 保 险 , 在 一 年 内 每 个 人 的 死 亡 概 率 为 011 % ,参加保险的人在 1月 1 日交 10元保险费 ,而当他在这一年死亡时家属可从保险公司领取 2 000
元 。求保险公司亏本的概率 。
设一年中死亡人数为 X,则保险公司每年收入为 3 000 ×10元 = 30 000元 ,付出为 2 000X元 ,把“参 加保险的每个人在该年是否死亡 ”看作一次随机试验 , 3 000 个人参加试验就相当于 3 000 重贝努
( λ ) 力试 验 ,即 X,B 3 000 , 01001 ,= np = 3 000 ×01001 = 3
设 A =“保险公司亏本 ”,则 :
() ( ) ( ) ( )P A = P 2 000X > 30 000 = P X > 15 = 1 - P 0 ?X ?15 = 3 ×01999 = 11731 2 npq np = 3 000 ×01001 = 3,
根据棣莫佛 - 拉普拉斯定理 :
12 - 3 0 - 3 15 - 3?X ? ( ) ΦΦP 0 ?X ?15 = P= - 11731 2 11731 2 11731 2 11731 2
( ) Φ ( ) Φ ( )= 1 - 1 - 01958 2 = 01958 2 =61932 - - 11733
() P A = 1 - 01958 2 = 4118 %
即 , 保险公司亏本的概率是 4118 % 。
从以上分析可见 , 保险公司实际上也是应用了小概率事件的原理 , 知道亏本的概率极小 , 肯定在保 险业中最大的受益者是保险公司 。但不能因为收益的概率小就不去投保 , 因为小概率事件并不是不可 能事件 , 不能掉以轻心 , 应该重视保险业 , 重视自身及家人的安全 、财产 、养老等等问题 。 213 在假设检验中的应用
利用小概率事件原理来做假设检验 :设某种假设 H需要检验 , 先假设 H是正确的 , 在此假设下构 1 1
造某一事件 A , 它在 H为正确的前提条件下 , 事件 A 的概率达到小概率标准 , 在一次试验中 , 如果小概 1
率事件 A 居然发生了 , 则不得不使人怀疑假设 H的正确性 , 因此否定 H, 如果 A 没有出现 , 则表明 H 1 1 1
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〃45〃 张红玉 ,等 :小概率事件的原理分析及应用
与试验结果不矛盾 , 不能拒绝 H。 1
例 3 某厂用自动包装机装箱 , 额定标准为每箱重 100 kg, 设每箱重量服从正态分布 ,σ = 1115 kg,
( )某日开工后 , 随机抽取 10箱 , 称得重量 kg为 :
9913 9819 10115 10110 9916 9817 10212 10018 9918 10019
() α 问 :包装机工作是否正常 取 = 0105 。
μ μ分析 :此问题实质上就是根据总体 X 的一组样本观测值 x, x, , x来检验假设 H:== 100是 1 2 100 0 否成立 。
μ μ假设 H:== 100 0 0 2 设 X =“箱重 ”, 则 , X ?N (μ, 1115)
σ = 1115, n = 10,α = 0105, 在 H成立的假设下 , 有 : 0
μ X - 0 X - 100 ( )?N 0, 1 U = = σ 1115
n 10
α 从而 P { |U | > U} = P { |U | > U} =α = 0105 01025 2
100127 - 100 = 即 { | U | > U}是一小概率事件。 根据试验的结果 , U 的观察值的绝对值为 | U | = 01025 1115 / 10 01742 5, 又 U= 1196, |U |比 U小 , 小概率事件 { | U | > U}没有发生 , 于是我们接受原假设 , 即 01025 0102501025
认为包装机工作正常 。
例 4 对某厂产品进行重复抽样质检 , 共取两百件发现有四件次品 。问能否相信该厂出次品的概 率不超过 01005。
假设 : H =“该厂的次品率不超过 01005 ”
设 A =“取两百件发现有四件次品 ”, 则 : 4 4 196 () ( ) ( ) P A = C01005 1 - 01005 = 01015 200
由上知 :当该厂的次品率为 01005时 , 抽查两百件产品发现有四件次品的事件是小概率事件 , 而这 个事件在一次试验中竟然发生了 , 故拒绝 H, 也就是该厂的次品率不超过 01005 是不可信的 。 3 结论
通过上面的分析可知 ,小概率事件原则的应用是非常广泛的 ,虽然它发生的可能性很小 ,但不等同 于不可能事件 ,所以在日常生活中我们也不能太过忽略小概率事件 ,它是概率论的精髓 ,是统计学存在 、 发展的基础 。它使得人们在面对大量数据而需要做出分析和判断时 ,能够依据具体情况的推理来做出 决策 ,从而使统计推断具备了严格的数学理论依据 。而且小概率事件原理的应用是非常广泛的 ,这里仅 仅列举了几个方面 ,还有更多的应用有待我们进一步去深入的分析和研究 。
参考文献 :
[ 1 ] 常柏林 ,李效羽 ,卢静芳等 . 概率与数理统计 [M ]. 高等教育出版社 , 2001.
[ 2 ] 盛骤 ,谢式千 ,潘承毅 . 概率论与数理统计 [M ]. 高等教育出版社 , 1989.
[ 3 ] 张艳艳 . 小概率事件原理的应用 [ J ]. 青海师专学报 (教育科学 ) , 2005, ( 3) : 38240.
3/3页全文完
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