数学建模：报童的策略

一、论文题目

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进购价为b，零售价为a，退回价为c，应该自然的假设为a>b>c，这就是说，报童售出一份报纸赚a―b，退回一份赔b―c，报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

二、问题的重述。

报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。

n的意义。n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n的意义是双重的。

本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。

三、基本假设

1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。

2、假设报纸每日的需求量是r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的分布函数,只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。

3、假设每日的定购量是n。

4、报童的目的是尽可能的多赚钱。

四、建立模型

应该根据需求量r确定需求量n，而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到n值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。

由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。

1、赚钱。赚钱又可分为两种情况:

①r>n，则最终收益为(a-b)n                  (1)

②r<n，则最终收益为(a-b)r-(b-c)(n-r)>0 

    整理得：r/n>(b-c)/(a-c)           (2)

2、由(2)式容易得出不赚钱不赔钱。

                   r/n=(b-c)/(a-c)        (3)

3、赔钱。

                   r/n<(b-c)/(a-c)        (4)

五、模型的求解

首先由(1)式可以看出n与最终的收益呈正相关。收益越多，n的取值越大。但同时订购量n又由需求量r约束，不可能无限的增大。

所以求n问题就转化成研究r与n的之间的约束关系。

然后分析(3)、(4)两式。因为(3)、(4)分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n值是为了获得最大收益，所以可以预见由(3)、(4)两式确立出的n值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，不予以讨论。

最后重点分析(2)式。

显然式中r表需求量，n表订购量，(b-c)表示退回一份儿报纸赔的钱。因为(a-c)无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入不等式中做研究。由a>b>c,可得a-c>a-b，而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。

然后采用放缩法，把(2)式中的(a-c)换成(a-b)，得到

r/n<(b-c)/(a-b)         (5)

不等式依然成立。

由(5)式再结合(1)式可知收益与n正相关，所以要想使订购数n的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c)与赚钱(a-b)的比值就应越小。当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。

    六、问题的分析

报童卖报纸的目的是多赚钱，说已确定购量n只是手段而非目的。本体我们有意的弱化订购量n的重要性，从赚钱的目的出发，反而很容易的得出了确定n值的条件，即当每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。该模型简洁易操作，又通俗易懂。不失为解决该问题的一种好方法。

七、问题的拓展

依然从实际出发，想获得更大的收益，报童除了确定最优订购量n以外，还可以凭借与报社签订长期合同的方法获得更多的优惠，在零售价a不变的情况下，压低一些b的价格，抬高一些c的价格，从而减少一些不确定随机的损失。这样也许比分尽心机的以确定订购量n来获得最大收益更加有保障。