打开APP
userphoto
未登录

开通VIP,畅享免费电子书等14项超值服

开通VIP
VC 常用快捷键

算法设计与分析基础课后练习答案

习题1.1 4.设计一个计算

的算法,n是任意正整数。除了赋值和比较运算,该算法只

能用到基本的四则运算操作。 算法求

//输入:一个正整数n2

//输出:。

step1:a=1;

step2:若a*a<n 转step 3,否则输出a; step3:a=a 1转step 2;

5. a.用欧几里德算法求gcd(31415,14142)。

b. 用欧几里德算法求gcd(31415,14142),比检查min{m,n}和gcd(m,

n)间连续整数的算法快多少倍?请估算一下。

a. gcd(31415, 14142) = gcd(14142, 3131) = gcd(3131, 1618) =gcd(1618, 1513) = gcd(1513,

105) = gcd(1513, 105) = gcd(105, 43) =gcd(43, 19) = gcd(19, 5) = gcd(5, 4) = gcd(4, 1) = gcd(1, 0) = 1.

b.有a可知计算gcd(31415,14142)欧几里德算法做了11次除法。

连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法,或者两次除法,因此这个算法做除法的次数鉴于1·14142 和 2·14142之间,所以欧几里德算法比此算法快1·14142/11 ≈ 1300 与 2·14142/11 ≈ 2600 倍之间。 6.证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立. Hint:

根据除法的定义不难证明:

如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;

如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.

对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn;显然,若d能整除n和r,也一定能整除m=r qn和n。 数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集,其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)

7.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次? Hint:

对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即

gcd(m,n)=gcd(n,m)

并且这种交换处理只发生一次.

8.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次) b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次) gcd(5,8) 习题1.2 1.(农夫过河)

1/37页

P—农夫 W—狼 G—山羊 C—白菜 2.(过桥问题

)

1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒

4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2 bx c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数) 算法Quadratic(a,b,c)

//求方程ax^2 bx c=0的实根的算法 //输入:实系数a,b,c

//输出:实根或者无解信息 If a≠0

D←b*b-4*a*c If D>0

temp←2*a

x1←(-b sqrt(D))/temp x2←(-b-sqrt(D))/temp return x1,x2

else if D=0 return –b/(2*a) else return “no real roots” else //a=0

if b≠0 return –c/b else //a=b=0

if c=0 return “no real numbers” else return “no real roots”

5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法 a.用文字描述 b.用伪代码描述 解答:

a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入:一个正整数n

输出:正整数n相应的二进制数

第一步:用n除以2,余数赋给Ki(i=0,1,2...),商赋给n 第二步:如果n=0,则到第三步,否则重复第一步 第三步:将Ki按照i从高到低的顺序输出 b.伪代码

2/37页

算法 DectoBin(n)

//将十进制整数n转换为二进制整数的算法 //输入:正整数n

//输出:该正整数相应的二进制数,该数存放于数组Bin[1...n]中 i=1

while n!=0 do { Bin[i]=n%2; n=(int)n/2; i ; }

while i!=0 do{ print Bin[i]; i--; }

9.考虑下面这个算法

,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进. 算法 MinDistance(A[0..n-1]) //输入:数组A[0..n-1]

//输出:the smallest distance d between two of its elements

习题1.3

1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.

a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序

3/37页

b.该算法稳定吗? c.该算法在位吗? 解:

a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示

:

b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序 c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题

)

第2章 习题2.1

7.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n)∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:

a. 这个断言是正确的。它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率,那么 g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率

由 t(n)≤c·g(n) for all n≥n0, where c>0

1

则:()t(n)?g(n) for all n≥n0

c

b. 这个断言是正确的。只需证明?(?g(n))??(g(n)),?(g(n))??(?g(n))。

4/37页

设f(n)∈Θ(αg(n)),则有:

f(n)?c?g(n) for all n>=n0, c>0 f(n)?c1g(n) for all n>=n0, c1=cα>0

即:f(n)∈Θ(g(n))

又设f(n)∈Θ(g(n)),则有:f(n)?cg(n) for all n>=n0,c>0

f(n)?

c

g(n)?c1?g(n) for all n>=n0,c1=c/α>0

即:f(n)∈Θ(αg(n))

8.证明本节定理对于下列符号也成立: a.Ω符号 b.Θ符号 证明:

a。we need to proof that if t1(n)∈Ω(g1(n)) and t2(n)∈Ω(g2(n)), then t1(n) t2(n)∈Ω(max{g1(n), g2(n)})。 由 t1(n)∈Ω(g1(n)),

t1(n)≥c1g1(n) for all n>=n1, where c1>0 由 t2(n)∈Ω(g2(n)),

T2(n)≥c2g2(n) for all n>=n2, where c2>0 那么,取c>=min{c1,c2},当n>=max{n1,n2}时: t1(n) t2(n)≥c1g1(n) c2g2(n) ≥c g1(n) c g2(n)≥c[g1(n) g2(n)] ≥cmax{ g1(n), g2(n)} 所以以命题成立。

b. t1(n) t2(n) ∈Θ(max(g1(n),g2(n)))

证明:由大?的定义知,必须确定常数c1、c2和n0,使得对于所有n>=n0,有:

c1max((g1(n),g2(n))?t1(n)?t2(n)?max(g1(n),g2(n))

由t1(n)∈Θ(g1(n))知,存在非负整数a1,a2和n1使: a1*g1(n)<=t1(n)<=a2*g1(n)-----(1)

由t2(n)∈Θ(g2(n))知,存在非负整数b1,b2和n2使: b1*g2(n)<=t2(n)<=b2*g2(n)-----(2) (1) (2):

a1*g1(n) b1*g2(n)<=t1(n) t2(n) <= a2*g1(n) b2*g2(n) 令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2),则

C1*(g1 g2)<= t1(n) t2(n) <=c2(g1 g2)-----(3) 不失一般性假设max(g1(n),g2(n))=g1(n).

显然,g1(n) g2(n)<2g1(n),即g1 g2<2max(g1,g2)

又g2(n)>0,g1(n) g2(n)>g1(n),即g1 g2>max(g1,g2)。

5/37页
本站仅提供存储服务,所有内容均由用户发布,如发现有害或侵权内容,请点击举报
打开APP,阅读全文并永久保存 查看更多类似文章
猜你喜欢
类似文章
【热】打开小程序,算一算2024你的财运
《程序员数学:素数》—— 你真的了解 RSA 加密算法吗?
618,找出数组的最大公约数
灵感编程:最大公约数算法解析
一起来算圆周率 | 日志 | 果壳网 科技有意思
★经典问题—欧几里得求最大公约数
最大公约数(Gcd)两种算法(Euclid && Stein) [整理]
更多类似文章 >>
生活服务
热点新闻
分享 收藏 导长图 关注 下载文章
绑定账号成功
后续可登录账号畅享VIP特权!
如果VIP功能使用有故障,
可点击这里联系客服!

联系客服