一题多解---初中几何题（世少赛选拔赛）

例题：如图，⊙o的内接四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心。求证：

（1）OI是△IBD外接圆的切线；

（2）AB+AD=2BD。

(1) OI是△IBD外接圆的切线；

证明：分别连接A、O与B、O，在△OAC中，AO与CO分别是⊙O的半径，即AO=BO；又I是AC的中点，则OI⊥AC。

第二步：由点I是△ABD的内心可知

∠BAC=∠DAC,∠BDI=∠ADI,∠ABI=∠DBI

∵∠CDI=∠BDC+∠BDI=∠BAC+∠ADI=∠DAI+∠ADI=∠CID

∴IC=ID

同理，IC=IB，则点C为△IBD的外心，则

OI是△IBD外接圆的切线。

(2)AB+AD=2BD

证明：此题有三种证明方法。

①分别过AC中点I作BC,DC的平行线交AB于点F，交AD于点E，则有AF=BF，AE=DE。

∵IF//BC

∴∠FIB=∠IBC

而∠IBC=∠BIC，则

∠BIC=∠FIB

即∠MIB=∠FIB

那么在△FIB与△MIB两三角形中

∠FBI=∠MBI

∠FIB=∠MIB

AI为公共边

∴△FIB≌△MIB

∴BF=BM

同理，DE=DM

∴AB+AD=2(BF+DE)=2(BM+DM)=2BD

②与①同理，如下图，可证得△IBF≌△BIM，△IED≌△DMI。同样可得出结论。

③过点I作AD的高，垂足为点H，再连接OC.

∵∠BAC=∠DAC

∴⊙O中弧BC=弧CD

∴OC⊥BD

假设OC⊥BD交BD于点H’，

∵点I是AC中点

∴AI=CI=BC

又∵∠IAH=∠CBH’

∴△BCH’≌△AIH

∴IH=CH’

∵I是AC的中点

∴S△ABI+S△ADI=S△CBI+S△CDI

又∵I是△ABD的内心

∴(AB+AD)×IH÷2=BD×IH×2÷2

∴AB+AD=2BD