小学时期谈平方和与立方和公式

首先来看一道例题：

例题1：计算1×2+2×3+3×4+4×5+...+99×100。

思路解析：将每一项同时扩大3倍得，

1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+...+99×100×3

每次将前两项合并后

=99×100×101

则，原式=1/3 ×99×100×101

继而推得结论

1×2+2×3+3×4+4×5+...+n(n+1)

=1/3 ×n(n+1)(n+2)  ①

而

1×2+2×3+3×4+4×5+……+n(n+1)

=(1²+2²+3²+4²+……+n²)+(1+2+3+4+……+n)

=(1²+2²+3²+4²+……n²)+½n(n+1)  ②

由于①=②得

1²+2²+3²+4²+……+n²

=1/3 ×n(n+1)(n+2)-½n(n+1)

=1/6 ×n(n+1)(2n+4-3)

=1/6 ×n(n+1)(2n+1)

这就是今后要学的平方和公式。

再来看一道例题：

例题2：计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+98×99×100。

思路解析：将每一项同时扩大4倍得，

1×2×3×4+2×3×4×4+3×4×5×4+4×5×6×4+……+98×99×100×4

每次将前两项合并后得

=98×99×100×101

则原式=1/4 ×98×99×100×101

继而推出结论

1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+(n-1)n（n+1）

=1/4 ×(n-1)n(n+1)(n+2)   ①

而

1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+(n-1)n（n+1）

=2×(2²-1)+3×(3²-1)+4×(4²-1)+……+n(n²-1)

=2³-2+3³-3+4³-4+……+n³-n

=(2³+3³+4³+……+n³)-(2+3+4+……+n)

两边同时加1，即

=(1³+2³+3³+4³+……+n³)-(1+2+3+4+……+n)

=(1³+2³+3³+4³+……+n³)-½n(n+1)   ②

由于①=②得

1³+2³+3³+4³+……+n³

=1/4 ×(n-1)n(n+1)(n+2)+½n(n+1)

=1/4 ×n(n+1)【(n-1)(n+2)+2】

=1/4 ×n(n+1)(n²+n)

=1/4 ×n²(n+1)²

=【½n(n+1)】²

这就是立方和公式。

不管是今后要学平方和还是立方和公式，都和小学时期的课程有着非常紧密的联系。我们需要的是保持一颗自信而又好学的心。