首先来看一道例题:
例题1:计算1×2+2×3+3×4+4×5+...+99×100。
思路解析:将每一项同时扩大3倍得,
1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+...+99×100×3
每次将前两项合并后
=99×100×101
则,原式=1/3 ×99×100×101
继而推得结论
1×2+2×3+3×4+4×5+...+n(n+1)
=1/3 ×n(n+1)(n+2) ①
而
1×2+2×3+3×4+4×5+……+n(n+1)
=(1²+2²+3²+4²+……+n²)+(1+2+3+4+……+n)
=(1²+2²+3²+4²+……n²)+½n(n+1) ②
由于①=②得
1²+2²+3²+4²+……+n²
=1/3 ×n(n+1)(n+2)-½n(n+1)
=1/6 ×n(n+1)(2n+4-3)
=1/6 ×n(n+1)(2n+1)
这就是今后要学的平方和公式。
再来看一道例题:
例题2:计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+98×99×100。
思路解析:将每一项同时扩大4倍得,
1×2×3×4+2×3×4×4+3×4×5×4+4×5×6×4+……+98×99×100×4
每次将前两项合并后得
=98×99×100×101
则原式=1/4 ×98×99×100×101
继而推出结论
1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+(n-1)n(n+1)
=1/4 ×(n-1)n(n+1)(n+2) ①
而
1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+(n-1)n(n+1)
=2×(2²-1)+3×(3²-1)+4×(4²-1)+……+n(n²-1)
=2³-2+3³-3+4³-4+……+n³-n
=(2³+3³+4³+……+n³)-(2+3+4+……+n)
两边同时加1,即
=(1³+2³+3³+4³+……+n³)-(1+2+3+4+……+n)
=(1³+2³+3³+4³+……+n³)-½n(n+1) ②
由于①=②得
1³+2³+3³+4³+……+n³
=1/4 ×(n-1)n(n+1)(n+2)+½n(n+1)
=1/4 ×n(n+1)【(n-1)(n+2)+2】
=1/4 ×n(n+1)(n²+n)
=1/4 ×n²(n+1)²
=【½n(n+1)】²
这就是立方和公式。
不管是今后要学平方和还是立方和公式,都和小学时期的课程有着非常紧密的联系。我们需要的是保持一颗自信而又好学的心。
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