课本上的做法太复杂,并且如果要用导数求斜率,需要用到隐函数的求导法则,这是超过高中教材的,而且运算也不见得简单.以下介绍一种不需要判别式、导数、求根公式的一种更简单的方法.
设P(x0,y0)为椭圆上一点,如果设P点切线斜率为k,则P点切线方程为y-y0=k(x-x0).将其与椭圆方程b^2x^2 a^2y^2=a^2b^2联立,消去y可得二次方程：
(b^2 a^2k^2)x^2 (2a^2ky0-2a^2k^2x0)x a^2k^2x0^2 a^2y0^2-a^2b^2-2a^2kx0y0=0,因为P点切线与椭圆的切点,所以上述方程应该有两个相同的实数根,故一定有Δ=0,且又因为P为切点,所以x0一定就是上述方程的重根,即：
x0=(2a^2k^2x0-2a^2ky0)/(2b^2 2a^2k^2),由该式可解得k=(-b^2x0)/(a^2y0)
将其代入直线方程y-y0=k(x-x0),化简可得该切线方程为xx0/a^2 yy0/b^2=1
即得椭圆上任意一点的切线方程xx0/a^2 yy0/b^2=1
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