费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。由数学家费马提出，据说由托里拆利很快找到。
下面我们就随手画一个三角形，如图
在三角形随意找一点D，连接DA、DB、DC，费马点D在那个位置到三个顶点距离之和最小呢？
我们通过旋转来等价转化距离之和，如图
以C点为旋转中心，将三角形CDB逆时针旋转60度到三角形CEF位置。易知DB=EF，DC=CE=DE,DA+DB+DC=DA+DE+EF，显然当A、D、E、F四点共线时，距离之和最短。当A、D、E共线时，∠CDA=120°，当D、E、F共线时，∠FEC=∠BDC=120°，所以D点应该对三个顶点的张角都为120°，这就是费马点的位置。
这里有一个问题，是否所有三角形费马点都在三角形内部呢？
如上图，当∠C=120°时，就会变为下面的情况
很显然此时点C就是费马点，由此可知如果三角形有一个内角大于等于120°时，费马点就是该内角顶点。
下面我们接着思考的一个问题是如何用作图的方法在一个三角形中作出费马点。
如图
作图方法：以三角形三边分别作三个等边三角形，再作三个等边三角形的外接圆，三个外接圆在三角形内交于一点，即费马点E。
证明可根据共圆对角互补，得到三个张角为120°。
费马点在光学上有个最小光程原理，即光波在两点间传播时，自动选取费时最少的路径。好神奇吧！
这个原理我们可以借助椭圆的光学性质来理解一下，即椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点，也即等价于椭圆上任意点的切线与两焦半径所夹的角相等。
如图
上面我们说到三角形中的费马点到三顶点距离之和最小，再结合最小光程原理即椭圆光学性质，我们便会意识到椭圆上的P点会不会是三角形ABC内的费马点呢？
如下图
以B和C为焦点，BP+PC为长轴作椭圆，以点A为圆心，AP为半径做圆，可证明它们相切于点P，公切线为l,根据椭圆光学性质，AP必平分∠BPC,可得∠APB=∠APC,同理也可证的∠APC=∠BPC，可得点P与费马点吻合。
这个问题的由来源于诗峰今天的一个问题，在几何上我需要学习的地方太多，所以今天抽时间整理下来，关于费马点的应用抽时间再加以研究。
封面题图：落叶之美20161123
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