奇怪吗?宇宙中所有的抛物线都相似?椭圆与双曲线呢?

前日，我的微信好友陈诗峰先生在微信群“数学文化联盟”中给大家出了个题目：证明所有抛物线都是相似的。说实在的，我有些孤陋寡闻，对于这个问题还是第一次遇到。首先我不知道曲线相似的定义是什么。只要了解了它的数学定义，在此基础之上思考应该就是数学内部的事情了。为此，我上网上搜索了一下，了解到了曲线相似的定义和相关文章，对这个问题也有了一些认识，在此写出与大家分享。

曲线相似定义：已知图形C₁与图形C₂，若两个图形上的点之间存在一一对应关系，且图形C₁上任意两点的距离与图形C₂上两对应点的距离之比是常数k（k≠0）,我们称这个图形相似。把k称为图形C₁对图形C₂的相似比。

特别地，若给定一点O和一个数k≠0，过点O任引直线交C₁与C₂于E₁,E₂两点，若OE₁/OE₂=k,那么C₁与C₂相似，相似比为k，而称点O为其相似中心。

显然，初中所学的相似多边形的定义是以上曲线相似的特殊情况。

明确了曲线的定义，下面我们用其来研究圆锥曲线的相似性。由于在极坐标系中，圆锥曲线上的点到焦点的距离便于表达，所以我们在极坐标系中研究这个问题。

如下图，圆锥曲线的焦点为F,焦点到准线的距离为m,离心率为e,(圆锥曲线的形状由m和e唯一确定),以焦点为极点，以与准线垂直的射线为极轴建立极坐标系。

 下面再回到原先的问题上来。

 问题：如下图，把两圆锥曲线C₁与C₂平移使得相应焦点重合于点F，从点F任意作一射线分别与两曲线交于P₁与P₂,则

由此，我们得到下面的结论：

离心率相等的圆锥曲线相似，相似中心为重合的相应焦点，相似比是焦点到相应准线距离的比值。

由于焦准距不便于记忆，过焦点作对称轴的垂线与圆锥曲线的交点线段称为圆锥曲线的通径。

命题：离心率相等的圆锥曲线相似，相似中心为重合的相应焦点，相似比通径比。

另外，再由离心率的定义可以知道，两个椭圆（或双曲线）的离心率

推论：若两个椭圆（双曲线）的长轴、短轴或焦距对应成比例，那么这两个椭圆（双曲线）相似；

在该推论的启发下，我们不难得出：相似中心也可以是中心与顶点。于是又可以得出下面的定理。

定理：两个椭圆（双曲线）只要离心率相同，在对应顶点重合、或中心重合、或对应焦点重合的前提下都是相似的，这些重合的点为相似中心，相似比为通径的比。

两抛物线的相似中心除了焦点外，也可以是顶点，相似比还是通径比。

了解了圆锥曲线的相似性，我们对于圆锥曲线的几何特征又有了更深一步的认识，这对我们进一步研究圆锥曲线之间的关系大有裨益。

从转移的角度来讲，宇宙中任何两个抛物线（或椭圆、或双曲线）可以转移到同一平面内，因此任何两个抛物线都是相似的，两个椭圆（双曲线）只要它们的离心率相等，那么它们就是相似的。

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