一道数列通项公式的求法（错位排列）

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下面是上期预告数列题目小编的解答（作了两次阶乘代换后变为等比，再累加）：

小资料：本题是著名的错位排列问题，来源于一个有趣的错装信封问题。错装信封问题由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667—1748)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli，1700一1782)提出来的，

瑞士著名数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]，其中D(1) = 0, D(2) = 1.

分析： 用A、B、C……表示写着ｎ位友人名字的信封，a、b、c……表示ｎ份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作D(n)。假设把ａ错装进Ｂ里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

(1)b装入Ａ里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有D(n－2)种错装法。　　　　

(2)ｂ装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n－1份信纸ｂ、ｃ……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有D(n－1)种。

总之在ａ装入B的错误之下，共有错装法D(n－2)＋D(n－1)种。

a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有D(n－1)＋D(n－2)种错装法，因此D(n)＝(n－1)[D(n－1)＋D(n－2)]

　　这是递推公式，令ｎ＝1、2、3、4、5逐个推算就能解答的问题。

    D(1)＝0，D(2)＝1，D(3)＝2，D(4)＝9，D(5)＝44，…….

也可用容斥原理解决的，参见后面供题人的解答。

如下的1993年全国高考题理科第17题，也是此模型：

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡．则四张贺年卡的不同分配方式有

   A．6种    B．9种   C．11种    D．23种

本题的另一背景是n对夫妻跳舞问题（即每对原配夫妻都不能伴舞）

还有变式版本：

n个人，每个人都有一件礼物想送给他人，他们决定把礼物混在一起，然后每个人随机拿走一件，问恰好有m个人拿到的礼物恰好是自己的概率是多少？

解析：n个人的排列数是n的阶乘n！，随机选取m个人作为拿到自己礼物的一组，有C_n^m种方法，假设用D(n-m)表示剩下的n-m个人全部拿错的方法数，那么答案就是：D(n-m)*C_n^m/n!

下面是供题人的解答（请自行验证结果）：

本题收到的四份解答的大方向是相同的：即先从不同的角度得到

，然后再累加。

本题收到江苏泰州周建发老师的解答见下（先分奇偶，再累加）：

本题收到浙江杭州余杭区新理想高级中学王卫香老师的解答见下（和供题人第一种基本一致，后用累加法）：

本题收到浙江宁波宁外陆建军老师的解答如下（先数归，再累加）：

本题收到微信昵称为“王炜”的网友手写版解答如下：

感谢以上数学爱好者提供的精彩解答！

上期关于三次方程有三个实数根，求P的最小值的题目。解答者遗漏了重庆邓丁瑞，因为是手写版，且没有在word里用公式编辑器后传给我存档，时间久了造成小编遗忘，实在抱歉，现贴出来：

请有兴趣的朋友们做一做，把你的解答截图留言给本公众号sxjt_zl，或者通过qq留言（需要截图，最好是将word文件传给我们，不要把解答发在群里，这样你的解法才不至于遗漏），我们会登载一些解法（建议用word和公式编辑器，汉字不要写在公式编辑器内。手写稿亦可，但不建议手写稿。手写稿需字迹和排版清晰，且无涂改痕迹，并且?每行不能写太长，也就是不能写很多字或公式，每行的长度是手机屏幕的宽度的1.5倍左右就要换行。请自行检查一下是否有错误，不要让小编审核太痛苦！）。

     另外，欢迎数学爱好者提供有意思的题目（难度不必太大，需要用公式编辑器在word里写清详解，word文件名的命名方法：题目内容简称、作者姓名、省份或单位的信息，在word里也写好作者的姓名、省份）。