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下面是上期预告数列题目小编的解答(作了两次阶乘代换后变为等比,再累加):
小资料:本题是著名的错位排列问题,来源于一个有趣的错装信封问题。错装信封问题由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667—1748)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli,1700一1782)提出来的,
瑞士著名数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)],其中D(1) = 0, D(2) = 1.
分析: 用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封,a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作D(n)。假设把a错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类:
(1)b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关,应有D(n-2)种错装法。
(2)b装入A、B之外的一个信封,这时的装信工作实际是把(除a之外的)n-1份信纸b、c……装入(除B以外的)n-1个信封A、C……,显然这时装错的方法有D(n-1)种。
总之在a装入B的错误之下,共有错装法D(n-2)+D(n-1)种。
a装入C,装入D……的n-2种错误之下,同样都有D(n-1)+D(n-2)种错装法,因此D(n)=(n-1)[D(n-1)+D(n-2)]
这是递推公式,令n=1、2、3、4、5逐个推算就能解答的问题。
D(1)=0,D(2)=1,D(3)=2,D(4)=9,D(5)=44,…….
也可用容斥原理解决的,参见后面供题人的解答。
如下的1993年全国高考题理科第17题,也是此模型:
同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡.则四张贺年卡的不同分配方式有
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
本题的另一背景是n对夫妻跳舞问题(即每对原配夫妻都不能伴舞)
还有变式版本:
n个人,每个人都有一件礼物想送给他人,他们决定把礼物混在一起,然后每个人随机拿走一件,问恰好有m个人拿到的礼物恰好是自己的概率是多少?
解析:n个人的排列数是n的阶乘n!,随机选取m个人作为拿到自己礼物的一组,有Cnm种方法,假设用D(n-m)表示剩下的n-m个人全部拿错的方法数,那么答案就是:D(n-m)*Cnm/n!
下面是供题人的解答(请自行验证结果):
本题收到的四份解答的大方向是相同的:即先从不同的角度得到
本题收到江苏泰州周建发老师的解答见下(先分奇偶,再累加):
本题收到浙江杭州余杭区新理想高级中学王卫香老师的解答见下(和供题人第一种基本一致,后用累加法):
本题收到浙江宁波宁外陆建军老师的解答如下(先数归,再累加):
本题收到微信昵称为“王炜”的网友手写版解答如下:
感谢以上数学爱好者提供的精彩解答!
上期关于三次方程有三个实数根,求P的最小值的题目。解答者遗漏了重庆邓丁瑞,因为是手写版,且没有在word里用公式编辑器后传给我存档,时间久了造成小编遗忘,实在抱歉,现贴出来:
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