圆锥曲线：忽视“存在性”造成解题的严重错误！

许兴华数学（图片来自万邦朝圣）

在圆锥曲线（即圆、椭圆、双曲线和抛物线）问题中，有一类“存在性”问题，如果忽视了问题的“存在性”来思考问题，那么，最后就会导致解题结果的严重错误。我们首先来看下面这样的一个问题：

【例1】已经双曲线的方程为：

试问：过点B（1,1）是否可以作直线L与所给的双曲线交于M、N两点，且点B是MN的中点？如果存在，求出直线L的方程；如果不存在，请说明理由。

一般地说，与圆锥曲线“中点弦”有关的问题，我们通常可以用上面的“点差法”来求解。但从以上问题的解答，我们可以看出：用“点差法”求解此类问题时，如果忽视了“存在性”，那么，我们最后得出的结论是致命的！

还有很多类似的例子。例如，如果我们已知两圆相交于A、B两个点，那么直接拿两圆的方程相减，消去x、y的平方项，就马上得到两圆的公共弦AB所在的直线方程。但是，请看下面的例2：

【例2】求两圆

的公共弦所在的直线L的方程。

【略解】两圆方程相减得，其公共弦所在的直线L方程是：2x+2y-7=0.

评注：这个解答显然是错误的！因为这两个圆不相交，根本就没有公共弦！得出的直线L与给定的两个圆也都没有任何公共点（见下面图1）！

【例3】已知椭圆C的方程为

试问：过点B（3,3）是否可以作直线L与所给的椭圆C交于M、N两点，且点B是MN的中点？如果存在，求出直线L的方程；如果不存在，请说明理由。

【分析】用例1的“点差法”即可轻松解出来：

同学们可以仿照【例1】的方法证明此直线L与椭圆C没有交点。

另外，从另一方面来说，请大家画一下这个题的图形，从直观图上面你们就会发现：点B（3,3）在已知椭圆C的外面，这怎么可能过B作椭圆C的弦MN，使MN的中点为B？（如图2所示）因此，上面解法是错误的，就是显而易见的了。

【评注】上面的答案也是错误的。-6是增根，应当舍去！你们画个草图就会明白：给定的圆和抛物线怎么可能在y轴的左边有交点呢？（如图3所示）

亲爱的同学们：数学虽然无限美丽，但是，数学也到处充满了陷阱和诱惑哦！

因此，大家在数学的学习过程中一定要小心谨慎，缜密思考数学问题，逐步培养缜密思考、严格推理的良好数学学习习惯！

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