一道角格点倍角几何题解答

命题如下：

已知：∠ACD=2∠DBC=4∠ADB=4∠BDC=40°

求证：AB=AD

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证法1：正弦定理

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证法2：角元塞瓦定理

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证法3：

作ΔBCD外接圆，圆心为O，辅助线如图所示

易知，OB=OC=OD

∠BOC=2∠BDC=20°,∠COD=2∠CBD=40°

∴ΔOBD是等边三角形

作ΔOBC的外接圆，圆心为E

∠OCF=1/2(180°-40°)-∠ACD=30°

∠OEF=2∠OCF=60°

∴ΔOEF是等边三角形

ΔOEB≌ΔOFD

∴∠OFD=∠OEB=160°

∴EC=EF

∠EFC=∠ECF=40°

∴∠AFD=160°-40°-60°=60°

∴∠FAD=60°

∴ΔAFD是等边三角形

∴ΔDFO≌ΔDAB

∴AB=OF=OE=BE=FD=AD

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尾注：

正弦定理和角元塞瓦定理对处理角格点问题非常有效。

对于角格点问题的纯几何解法，一般借助构造正三角形抑或利用等腰三角形底边三线合一来做，本题纯几何解法(证法3)由储王水老师给出，艺术感极佳。

储王水简介：

储王水，中学数学高级教师，安徽省安庆市岳西县中关中心学校数学教师，安庆市骨干教师。