关于昍（xuan)爸的书籍和课程介绍，请看下面几篇文章：
1.数学思维录播课（适合小学中高年级）：
这门课，必须OK！2、初等数论录播课（适合初高中学生和六年级的牛娃）：
因式分解和数论，哪个更该学？3、给家长的数学启蒙引导录播课（适合三年级及以下的家长）：下周上线
4.《写给孩子的数学之美》介绍：
昍爸新书《写给孩子的数学之美》4月出版啦！5. 关于两本蓝色数学思维书的介绍：
有件事，我想澄清好久了6.《给孩子的计算思维书》介绍：
这次，有签名版！！！（这是原来的一篇付费阅读文章，现在解锁给大家，概率相关问题基本一网打尽，喜欢的话帮忙三连）
不少家长鸡不动娃时会拿几个985的失败者来安慰自己：读985又有什么，某某某读了名校最后不也就去街道当个普通办事员吗？你看马云和马化腾，人家不是985毕业的，照样取得成功。
没错，这样的说辞用来熬鸡汤励志很好，但背后却缺了点概率思维。小概率事件会发生，但轮到自己头上的几率呢？事实上，很多人都缺乏概率思维，包括我在内。证券老师明明说了，炒股是8赔1平1赚，但为什么还有这么多人往里面冲呢？
概率在生活中无处不在，我们的很多决策都依赖于概率思维。十一在家乡的青果巷闲逛，竟然偶遇毕业后三年未见的学生。巧合与偶然性的背后，就是概率。在一个拥有500万人口的城市，偶遇的概率有多高？
事实上，很多概率问题都很反直觉，今天这篇文章，就来聊聊一些大家整不明白的概率问题。
昨天文章里的问题实际上就是一道经典的概率题。概率就是伴随着赌博游戏而产生的一门学问。
每个玩家投入相同的300元赌资，然后轮流掷硬币。如果硬币落地时正面朝上，掷硬币的玩家会得一个点，否则，另一个玩家会得一个点。第一个得3个点的玩家可赢得全部赌资。3次硬币掷完后，甲得了2个点，乙得1个点。如果此时因为意外原因游戏不得不中断，那么怎么分配这600元赌资是公平的?
显然，各拿回300元对于甲来说不公平。有人说要按2：1的点数比来分配，其实也不合理。事实上，按照获胜的概率之比来分配是最公平的。甲已经得了2个点，再掷一次硬币获胜的概率是1/2。如果不胜，那两个人都是2个点，此时必须再多掷一次，两人获胜的概率各为1/2。整个走势如下图所示，甲获胜的总概率为1/2+1/2×1/2=3/4，乙获胜的总概率为1/2×1/2=1/4（注：所有可能结果的概率之和为1）。因此，赌资按照3：1分配才最合理。
我小时候没有啥数学游戏玩，但经常去村里打扑克，常常能赢点买文具的小钱。不得不说，打扑克确实锻炼人的概率思维，你必须不停地思考出牌的各种可能性的高低。
设计扑克和骰子的人应该都是概率高手。比如在打牌的时候，到底是同花顺厉害还是炸弹厉害？这里面遵循的就是物以稀为贵的道理。在《给孩子的数学思维课》一书中，就有一篇文章是专门谈顺子和同花哪个可能性大的。
其实说穿了，古典概率问题就是计数问题。把所有可能的情况计算清楚，然后再把满足问题条件的情况计算清楚，两者一除就是概率。所以，概率要学好，排列组合不可少。
一个经典的问题是：掷两个标准六面骰子，点数之和可以从2到12，那么哪一个点数和的可能性最高呢？
这个问题，我们就可以把所有情况计算清楚，一共是36种。然后，我们可以把每一种点数之和出现的次数计算清楚，比如列一张下面这样的表。可以看到，点数之和为7的可能性最大，为6/36=1/6，而点数和为6和8的概率各为5/36。
但很多时候我们并不会这么去思考问题，而是会凭直觉。比如，下面是一个与扑克牌有关的问题。
52张扑克牌，其中26张红色26张蓝色，随机洗牌后放在桌子上。请问最顶上的那张牌和最底下的那张牌是同色的概率是多少？
（A) >50% (B)=50% (C)<50%
分析：红色和蓝色一样多，根据对称性，两者同色或不同色的可能性应该是相同的，因此选B, 50%.
如果你的回答跟上面一样，那么：恭喜你，答错了！
对于这个问题，我们可以这么思考，两张牌一共有52×51种排列，其中同色的排列有26×25+26×25=26×50种，因此概率为26×50/(52×51)=25/51<50%。
或者，我们可以这么思考：顶上一张牌任选，选完后，底下一张牌要和这张牌同色，则只有25种可能，而不同色则有26种可能，因此不同色的可能性更高。
让概率违反直觉的第一类问题是某一事件同时多次发生引起的。计算多个独立事件A和B同时发生的概率，需要用乘法而不是加法。大家觉得结果反直觉可能侧面也反映了我们还是缺乏乘法思维。
（注：独立事件是指一个事件的结果不依赖于另一个事件的结果，比如掷两个骰子，第一个骰子掷出6和第二个骰子掷出什么点数没有任何关系。）
之前台海局势升级，有位台湾退役将领闹出了笑话：说天弓一号一发拦截率70%，那么三发一起拦截成功率就是210%。
这件事情，一方面说明了台湾退役将领对概率基本概念的无知：概率怎么能超过100%呢？另一方面也正说明了不少人根深蒂固的加法思维。
那么问题来了：
假如天弓一号一发的拦截成功率真能达到70%的话，那三发一起拦截的成功率到底是多少呢？
分析：3枚独立的防空导弹只要有一枚成功拦截，就算成功，如果直接求可以分为三类：一枚拦中、二枚拦中、三枚拦中，情况比较多。正难则反，不妨考虑其对立面：三枚都没拦中。一枚不中的可能性为1-70%=30%，三枚都不中是独立事件，根据乘法原理，三枚都不中的可能性为0.3×0.3×0.3=0.027；所以拦截成功率为1-0.027=0.973，即97.3% 。
这个数据还是很吓人的，不过我们也不用担心，因为单发的拦截命中率远远达不到70%，比如单发拦截成功率为30%的话，那么三枚都拦不中的概率为0.7×0.7×0.7=34.3%，拦截成功率为65.7%。而且，一般的导弹防御系统只发射两枚，这样的话，成功率就只有1-0.7×0.7=51%。
很多概率问题都可以用上述正难则反的方法予以思考和分析。比如，家里如果只有一个卫生间，那经常就会遇到卫生间被占用的情况，但如果有两个卫生间，那遇到两个卫生间同时被占用的概率可不是简单地减半，而是会大大降低。
类似的方法也可以用于分析飞机失事概率。去年东航飞机失事，有人对坐飞机又害怕了起来。小杰的一篇文章《
从飞机失事谈谈这反直觉的概率》从概率角度谈了这个问题，得出了下面的计算结论：
假定按飞机失事概率三百万分之一来计算。
如果想要不出事，那么必须每一次出行都安全，概率是2999999/3000000。
坐1万次飞机失事概率为1-(2999999/3000000)^1000≈0.3%。也就是说， 即便一个人一生坐一万次飞机，还是有99.7%的概率是安全的，对个人来说，其实已经很安全了。更何况，一生哪坐得了10000次飞机呢。
但是对于整个飞机航班来说，飞行300万次，飞机失事的概率：
300万次飞行很大概率会发生失事了。
一年3400万次飞机航班，飞机失事概率：
非常非常接近100%，也就是每年有99.999%的概率是会发生飞机失事的。
概率很小的事情，一旦大量重复发生，那么发生的可能性是陡增的。正如墨菲定律所说：如果事情有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。
与这个例子类似的推理，还有生日悖论，即：
一个不少于23个人的班级里，存在两个人在同一天生日的概率超过50%。
这个结论很反直觉，因此被称为悖论。很多人对此有怀疑，不妨让孩子去班上做个调查，看看是否存在两个孩子同一天生日。
我们不计闰年，假定一年365天。存在两个人同一天生日的情况太复杂，我们依然采用正难则反的方法，先算一下n个人中任何两人生日都不相同的概率。
n个人的生日都不相同，可以这么思考：
第一个人的生日可以是365天中的任意1天；
第二个人生日与第一个人生日不同，只能是364天中的一天；
第三个人生日与前两个人又不同，只能是363天中的一天；
……
第n个人的生日与前n-1个人不同，于是只能是365-(n-1)天中的一天；
根据乘法原理，所有人生日都不相同的情况就有365×364×...×(365-n+1)，而不管生日是否相同，每个人的生日都有365种可能，因此所有的可能情况为365^n。
根据概率的定义，n个人生日都不相同的概率是：
从而，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：
当n=23时，计算得概率为50.7%。
当人数达到孩子班级人数n=36时，至少有两个人的生日相同的概率高达83.2%！
下面的图给出了人数和存在生日碰撞概率的曲线关系，可以看到，当人数达到60人左右时，几乎100%都会有两个人的生日相同了。
当然，这并不意味着当一个班级有23个人时，有人和你同一天生日的可能性会达到50%。事实上，这个可能性要低的多。具体到某一个人时，其生日已经固定，其余22个人中的每个人与他生日都不相同的概率均为364/365，因此，22个人的生日与他的生日都不相同的概率为(364/365)^22，至少有一个人与他生日相同的概率就是1-（364/365)^22≈6%。
除了小概率事件多次同时发生的问题反直觉外，另一类概率问题也让许多人会产生困惑：条件概率问题。
去年暑假热播的《天才基本法》里出现了下面这样一道压轴概率题，据说不少家庭为此答案到底是1/2还是2/3吵翻了天。
有三个盒子，一个盒子里装了2个蓝球，一个盒子里装了2个红球，还有一个盒子里装了一个蓝球一个红球，从三个盒子中随机选择一个盒子，从里面拿出一个球，发现是红色的，那么这个盒子里另一个球是红色的概率有多大？
有人说是1/2，有人说是2/3。说1/2的理由也冠冕堂皇：拿出的是红球，说明不是（蓝，蓝）的盒子，那只能是（红，蓝）或（红，红）的盒子，如果是（红，蓝）的盒子，则另一个球是蓝色，如果是（红，红）的盒子，则另一个球是红色。所以，另一个球是红色的概率为1/2。
上面的思考看似合理，实则有问题。因为取出一个球发现是红色后，这个盒子是（红，蓝）或（红，红）没错，但两者的概率不是相同的。可能有人说不对，开始选中哪个盒子，概率就确定了，不会随着你打开盒子后球颜色的变化而再变化了。
可真的是这样吗？一开始每个盒子被选中的概率确实是1/3，但打开发现是红球后，(蓝，蓝）盒子的可能性就从1/3变成0，这就已经改变了三个盒子被选中的可能性，那为什么（红，红）和（红，蓝）盒子被选中的可能性不能变呢？
又有人要反驳。是变了，不过是由原来的两个概率都是1/3变成两个概率都是1/2了。但是，取出的球是红色，两个盒子被选中的概率是等同的吗？显然不是，因为（红，红）里有两个红球，所以取到（红，红）盒子的可能性应该是（红，蓝）盒子的两倍，即2/3，所以同盒的另一个球是红色的概率也是2/3。
在电视剧里，林朝夕用的就是这种小学生能理解的枚举方法，而章亮用的则是条件概率公式。相比之下，我更喜欢林朝夕这种朴素的做法。
上面这个问题其实有个非常有名的原型，即三门问题，亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。
据说，包括很多博士在内的人都为此争论不休。很多人认为选中了概率就不变了，不管换不换，最后的概率是固定的。也有人认为剩下两扇门，门口为跑车的概率将从原来的1/3改变为1/2。但事实不是。原来每个门后是跑车的概率都是1/3，主持人打开一扇门露出山羊后，这扇门就被排除了，也就是它背后是跑车的概率从1/3降为0。
上面的表格可视化地展示了这个分析。事实上，一开始你选择的门背后是羊的概率是2/3。假如背后真是羊，那当主持人打开一扇背后是羊的门后，你换门总能得到跑车，因此概率为2/3。
事实是，被排除掉的一扇门的概率不会在两扇门之间平均分配，而是会叠加到未被选择的另一扇门上。
病毒检测时，经常听说一个阳性病例检测了好多次都检测不出来的案例，也有少数检测出是阳性，复核后又是阴性的案例。这里面其实就涉及病毒检测的假阳性和假阴性问题。这个问题，我之前在下面这篇文章里谈过。
为什么有的人病毒检测结果为阳性却依然淡定？文中提到了下面这个病毒检测问题。
一种病毒在人群中的感染率是1%。对某个人做病毒测试有如下的结果：如果人确实感染了病毒，那么测试结果有94%的可能显示阳性（阳性表明感染），而测试结果有6%的可能显示阴性（假阴性）；如果人没感染病毒，那么测试结果有96%的可能显示阴性（阴性表明未感染），而测试结果有4%的可能显示阳性（假阳性）。
现在有一个人进行了病毒测试，测试结果为阳性，那么请问他确实感染了病毒的可能性最接近下面哪个值?
(A)7.8%
(B)19.4%
(C)43.8%
(D)55.2%
(E)94%
不少人看到这个问题会觉得疑惑，这测试结果都是阳性了，那还不就等于宣判了嘛。到底是不是呢？我们数据说话。
感染了病毒和未感染病毒测量结果为阳性和阴性的概率如下表所示：
测试结果为阳性
测试结果为阴性
感染了病毒
94%
6%
未感染病毒
4%
96%
我们做个简单的计算。
假设一共有2000个人，那么真正的感染者一共有2000×1%=20个。但由于假阳性的存在，做全员检测能测出的阳性人数高达：20×94%+1980×4%=98人。所以，即便测出是阳性，他确实感染病毒的概率也只是20×94%/98≈19.2%。
感染概率这么低，他当然可以选择淡定了。
所以，如果预先知道病毒在人群中的感染率和假阴性和假阳性的可能性，那检测结果为阳性，完全可以计算出确实感染病毒的概率。当然，从计算过程可以看出，感染率、假阳性率、假阴性率都会影响最终的结果。
有人不妨要问：那检测的意义究竟在哪里呢？
从这个角度来说，检测最大的意义是说检测出阴性，那么大概率是没有感染的。
比如上面的例子中，2000个人中，有1980个人未感染。20个感染者，测出阴性的有20×6%≈1人。1980个未感染者中，测出阴性的有1980×96%≈1901人。所以，在这个场景下，如果检测出为阴性，那么确实未感染的可能性高达1901/1902=99.95%！
上面这个例子，如果用更学术的方法来求解，那就是大名鼎鼎的贝叶斯公式了，我就不在这里展开。
除了上面说的两大问题，大家在概率里常常还会犯一类错误：把样本和事件搞混，或者说自己认为的样本并不等概率。我们之前说古典概率就是用满足事件要求的样本数量除以所有的样本数量，但前提是每个样本必须等概率出现才行。
我之前在《给孩子的数学思维课》的概率思维一章提到了一个案例：
我手上有6把长得几乎一模一样的钥匙，现在要打开内外两道门，而我那次运气特别好，选的第一把钥匙就打开了第一扇门，第二把钥匙打开了第二扇门。请问，我的运气到底有多好？
