如何直观理解矩阵的“特征值”和“特征向量”

前提共识：研究n阶方阵A

在《黎曼博士的零点》中，对特征值和特征向量有如下描述：

特征多项式|λE—A|的根可确定各个特征值λi，

分别计算空间叠加矩阵λiE—A的零空间，该零空间称A的属于λi的特征子空间。

由于特征向量是非零向量，特征子空间的去零向量部分就是属于λi的全体特征向量，

故属于λi的特征子空间的基可代表属于λi的全部特征向量。

特征多项式|λE—A|起了什么作用呢？为什么它是求解的钥匙呢？

由于λE表示将单位矩阵的各个正交基都乘了λ倍，与-A叠加后行列式为零，

说明λE使A至少降了1维（含多种情形，可由行列式的性质推想），

由于情形不唯一，因此能起到该效果的λ可能不唯一，

解|λE—A|的根即在于找到全部这样的λi。

λE对A起如上效果，说明A含有与λ相关的特殊信息。

由于A可视作线性变换，如果它作用到某个非零向量后，仅使该向量伸缩（含倒向及零），

而未转动它（倒向除外），且伸缩系数恰为λi，则该向量为属于特征值λi的特征向量。

λiE-A可视作空间行向量的静态组合，其秩为r（λiE-A），

属于λi的特征向量的空间维度便可确定，即n—r（λiE-A）。

由于λi可能存在重根，

当单重时，若n—r（λiE-A）=1，说明该伸缩因子只作用于某1个特殊角度（向量）；

当m重时，若n—r（λiE-A）=m，说明分别作用于m个特殊角度的m个伸缩因子等值；

当m重时，若n—r（λiE-A）＜m，说明有某m—[ n—r（λiE-A）]个特殊角度法外于该规则。

矩阵的对角化，即在找与A相似的一种最简矩阵。

对角阵相当于同阶E的各个正交基各自伸缩一定系数。

例如一个对角阵作用在3维空间内的一个单位立方体时，则线性变换的效果即是沿xyz各轴伸缩，得到新3维体。

若一个n阶方阵A可对角化，即对角阵的各个正交基都须有各自的伸缩因子λi，

则前提是A必须有n个彼此独立的作用角度（特征向量），以便构造n维正交基实现对角化。

下图3阶方阵A只有红绿2个作用方向，伸缩因子分别为3和2，A不可对角化。

顺便一提：若A的某个特征值为0，则0会使属于它的作用方向压扁，属于高维度向低维度投影变换，因此A不可逆。