初中数学分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学向题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

分类讨论的三大类知识点

代数式：如绝对值、方程及根的定义，函数定义以及点（坐标不确定）所在象限等。

几何类：各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况。

综合类：代数与几何分类情况的综合运用。

分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏。

分类的原则

①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级有序进行；④以性质、公式、定理的使用条件为标准分类

下面小编为大家整理了初中数学常见的几种分类讨论思想的问题，供大家交流学习使用。

01

代数类

分类讨论思想在绝对值的应用

例题1、（1）分类讨论是一种重要的数学思想，比如要在实数范国内化简可以按x与1的大小关

系分三种情讨论：

④当x＞1时，x－1＞0，则＝x－1

②当X＝1时，x－1＝0，则＝0

③当x＜1时，X－1＜0，则＝

（2）请根据以上思想，在实数范国内比较代数式a与的大小关系

【解析】（1）根据绝对值的概念及性质求解即可（2）根据有理数大小比较及倒数性质分类比较即可

解：（1）：③当x＜1时，X－1＜0，则＝－（X－1）＝1－x

（2）①当a＝±1时，a＝1

②当a＜－1时，a＜

③当－1＜a＜0时，a＞

④当0＜a＜1时，a

⑤当a＞1时，a＞

举一反三：

 解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．    

【解题思路】解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①X≤－3；②－3＜X≤2；③X＞2． 

分类讨论思想在一元二次方程的应用

例题2、 已知方程有实数根，求m的取值范围。

【分析】字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。

解：⑴当，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=-1。

⑵当，即

时，方程为二次方程，由有实根的条件得，

评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种⑴前置式，即“二次方程”；⑵后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。

例题3、 已知关于x的方程：

。

⑴求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

⑵若这个方程的两个实数根

评注：本例是根据方程的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。

举一反三：

02

几何类

分类讨论思想在线段中的应用

分类讨论思想在三角形中的应用

03

综合类

分类讨论思想在代数与几何中的综合应用

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