解决带电粒子在电场中运动问题的思想与方法

湖北   白庆然

 

    带电粒子在电场中的运动，是一个综合电场力、电势能的力学问题，研究的方法与质点动力学相同，它同样遵循运动的合成与分解、牛顿运动定律、动能定理等力学规律，处理问题的要点是要注意区分不同的物理过程，弄清在不同的物理过程中物体的受力情况及运动性质，并选用相应的物理规律。

    为了加深对这部分知识的理解与应用，以下就处理这类问题的常见思想、方法分类加以例析，供参考。

一、用运动的分解思想处理带电粒子的曲线运动

    在处理带电粒子在匀强电场或电场与重力场组成的复合场中做曲线运动时，运动的合成与分解法比较常见，一般将粒子比较复杂的曲线运动分解为沿电场方向和垂直于电场方向的两个分运动来求解。

  例1．一个带负电的小球质量为m，带电荷量为q，在一个如图1所示的平行板电容器的右侧边被竖直上抛，最后落在电容器左侧边缘同一高度处，两板间距为d，板间电压为U，求电荷能达到的最大高度H及抛出时的初速度v₀。

    解析：由题设条件可知：小球在复合场中做曲线运动，可将其运动分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。

由竖直上抛运动规律得：小球上升的最大高度H

小球自抛出至回到左侧板边缘同一高度处所需时间为：

根据小球在水平方向的运动规律可得：

    联立解得：

 

二、用能量观点处理相关问题

    由于电场力做功与粒子在电场中运动的路径无关，只决定于始、末位置的电势差，即：W_AB=qU_AB，因此用功能关系法处理粒子在匀强电场或非匀强电场的直线运动或曲线运动问题都是比较有效的。

    例2．如图2所示，光滑绝缘竖直细杆与以正电荷Q为圆心的圆交于B、C两点，一质量为m，电荷量为－q的空心小球从杆上的A点由静止开始下落，设AB=BC=h，小球滑到B点时速度为

，试求：

    （1）小球滑至C点的速度．

    （2）A、B两点的电势差．

    解析：（1）因B、C是在电荷Q产生的电场中处在同一等势面上的两点，即U_BC=0，所以从B到C时电场对带电小球所做的功为零，由B→C，根据动能定理得：

      

    将

代入，

    解得

    （2）由A→B，根据动能定理   

      

    所以

 

三、用极限思想分析临界问题

    涉及到带电粒子在电场中运动的临界问题时，关键是找到临界状态所对应的临界条件，而临界条件可以借助极限法进行分析。

  例3．一束电子流在经U=5000 V的加速电压加速后，在距两极板等距处垂直进入平行板间的匀强电场，如图3所示，若两板间距d=1.0 cm，板长l=5.0 cm，那么，要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最多能加多大电压?

    解析：在加速电压一定时，偏转电压U'越大，电子在极板间的偏距就越大，当偏转电压大到使电子刚好擦着极板的边缘飞出，此时的偏转电压即为题目要求的最大电压。

    加速过程，由动能定理得

    ①

    进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速运动

   

                                                ②

在垂直于板面的方向做匀加速直线运动，加速度

                                        ③

偏距

                                      ④

    能飞出的条件为

                                ⑤

    解①～⑤式得

      

=400V．

    即要使电子能飞出，所加电压最大为400 V．

 

四、运用等效思想建立复合场模型处理相关问题

    处在匀强电场中的带电体除受到电场力外，一般还会受到重力等其他外力的作用，这类问题应用等效重力法，即将重力和电场力的合力看成一等效重力，然后运用类比法，通常都能较简捷地解决问题。运用等效的观点对物理过程进行分析，不仅便于我们对物理问题的解答，而且对于灵活运用知识，促进知识和能力的迁移、思维的拓展，都有很大的帮助。

  例4．在水平向右的匀强电场中，有一质量为m，带正电的小球，用长为L的绝缘细线悬挂于O点，稳定时小球静止于A点，细线与竖直方向夹角为θ，如图4所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动，求：

      （1）小球运动过程中的最小速度；

      （2）小球在A点的初速度。

      解析：小球在运动过程中，所受重力和电场力都是恒力，将它们合成等效为一个力F，如图5所示，则

，把合力F与重力类比，其等效重力加速度

，因此，小球在竖直平面内做圆周运动的等效“最低点”和“最高点”分别为图5中的A点和B点。

    （1）小球在B点处的速度最小，依题意有

      

      解得

      （2）小球从A点运动到B点的过程中，根据动能定理可列式：

      

      答案：（1）

；（2）

 

牛刀小试：

  1．（09年广东高考物理卷第20题）如图6所示，绝缘长方体B置于水平面上，两端固定一对平行带电极板，极板间形成匀强电场E，长方体B的上表面光滑，下表面与水平面间的动摩擦因数为μ=0.05（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相同），B与极板的总质量m_B=1.0 kg，带正电的小滑块A的质量m_A=0.60 kg，其受到的电场力大小F=1.2 N，假设A所带的电量不影响极板间的电场分布，t=0时刻，小滑块A从B表面上的a点以相对地面的速度v_A=1.6 m/s向左运动，同时，B（连同极板）以相对地面的速度v_B=0.40 m／s向右运动，问（g取10 m／s²）

    （1）A和B刚开始运动时的加速度大小分别为多少?

    （2）若A最远能到达b点，a、b的距离L应为多少？从t=0时刻到A运动到b点时，摩擦力对B做的功为多少?

  2．如图7所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强大小为E，方向一定且与圆周在同一平面内，现在该平面内将一带正电q的小球从a点以相同的初动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在所有的点中，到达c点时小球的动能最大，已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：

    （1）电场方向与ac间的夹角θ为多大?

    （2）若小球在a点时初速度与电场方向垂直，则小球恰好能落在c点，那么初动能为多大?