分析法与综合法在几何证明题中的运用

证明一道几何题，不是一拿到题，就凭感觉开始证明，而是要首先运用分析法缜密分析而后运用综合法来进行综合证明。

什么是分析法？什么是综合法呢？分析法指从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到推出一个正确的条件（如已知、定理、性质、等）为止，即从未知，看须知，逐渐靠拢已知，而达到证明。但几何证题中往往不单独运用此法，而只是用此法分析探路而已。

综合法是指在推理的过程中，从已知开始，一环扣一环，最后导致所要证明的结论成立，即从已知，看可知，逐渐靠拢未知的一种证明方法。此法是我们证题的常用方法。

分析法和综合法不是彼此孤立的，证题中，我们往往是用分析法探路，用综合法证题。

下面笔者通过一道普通几何证明题，和大家谈谈分析法和综合法的运用。

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，点E是Rt△ABC外一点，且∠AEC＝45o，求证：AE⊥BE。

分析法探路：若证AE⊥BE，因∠AEC＝45o，须证∠BEC＝45o，分析到这里，可能有点分析不下去了，考虑到本题要作辅助线，于是会考虑到45o角的特殊性，分析继续下去：作BM⊥EC于M， 须证BM＝EM，BM在△BMC内，图中直觉告诉我们没有和它全等的三角形，于是还要作一条辅助线构造与△BMC全等的三角形。考虑到AC＝BC，于是会作AN⊥EC于N，则AN＝EN，继而可用角角边定理证△CBM≌△ACN，得出BM＝CN，因CM＝AN＝EN，于是有CN＝ME，从而有BM＝ME，得∠BEC＝45o，从而大功告成，AE⊥BE。整个分析过程用符号语言分析如下：

AE⊥BE→∠BEC＝45o→作BM⊥EC于M→BM＝EM→AN⊥EC于N→（则AN＝EN）→△CBM≌△ACN→BM＝CN→（∵CM＝AN＝EN）→CN＝ME→（∵BM＝CN）BM＝ME→∠BEC＝45o→AE⊥BE。

整个分析过程体现了从已知，看可知，逐渐靠拢未知的思想。

分析给我们探明了方向，证题时则用综合法加以证明。首先作两条辅助线BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，证△CBM≌△CAN，利用CM＝AN＝EN过渡，达到证题的目的。

有些几何证明题，看起来“山重水复”，但分析法综合法运用得当，便会“柳暗花明”