“与圆有关的动态问题”专题复习教学设计与启示

以学定教 分散难点 变式拓展

——“与圆有关的动态问题”专题复习教学设计与启示

王万丰（浙江省台州市路桥实验中学）

摘要：动态问题通常是以某种几何图形或函数图象为背景，点、线或图形在同一平面内做平移、翻折、旋转等变换，问题关注在运动过程中某个时间出现某种特殊情境或两个变量之间的函数关系等．该题型能全面地考查初中阶段核心的数学知识、方法及思想，同时又能全面地考查学生观察、操作、推理、综合运用知识等能力，是中考专题复习的难点，在教学中可以通过学案前置的方式达到以学定教，通过阶梯式的题型分散教学难点，通过变式教学突破难点．

关键词：动态问题；专题复习课；教学启示

中考专题复习课常以内容多、难点多、思想方法多而著称，要在一堂短短的45分钟内完成教学任务是非常难的，教学中教师往往是挑几个难题讲解便草草收场，所以专题复习课是最难讲的课之一. 笔者在90学时教师培训课上开设了一节专题复习课“与圆有关的动态问题”，以此为例谈谈专题复习课的教学策略，抛砖引玉．

一、教学设计

内容及内容解析

1．内容

与圆有关的动态问题.

2．内容解析

圆是初中阶段学习了直线型图形之后学习的曲线型图形，本章内容丰富，主要有圆的基本概念，垂径定理及圆心角定理，圆周角定理及其推论等基本性质；点、直线、圆与圆的位置关系，正多边形与圆以及与圆有关的计算等等.动态问题是多年来各类考试的重点，以圆为背景的动态问题能有效地考查学生的基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验．本节课结合试题分析与圆有关的动态问题的解答策略与方法．

基于以上分析，本节课的教学重点为与圆有关的动态问题的解题策略与方法．

目标及目标解析

1.目标

（1）通过对与圆有关的动态问题的解决，进一步理解圆的基本性质，点、直线与圆的位置关系的性质及判定.

（2）通过对动态问题的解决，掌握解决动态问题的一般策略与方法.

（3）经历观察、操作、想象、推理、交流等数学活动，体会蕴涵在其中的数形结合、分类讨论、转化、建模等数学思想．

2.目标解析

达成目标（1）的标志是通过自主探究等基本的数学问题的解答，进一步回忆、归纳、理解圆的基本性质，点与圆位置关系，切线的性质与判定等；

达成目标（2）的标志是学生拿到动态问题时能有效地分析题意，掌握解决动态问题的以静制动、分类讨论的基本策略与方法；

达成目标（3）的标志是学生通过例题及变式练习，经历观察、操作、想象、推理等数学活动，体会在解决数学问题的过程中所蕴含的数形结合、分类讨论、转化、建模等数学思想．

教学问题诊断分析

动态问题是初中各级各类考试常见的题型之一，由于涉及到点、直线、图形的整体运动，学生对运动中的图形变化情况难以掌控，比较抽象.目前，学生对基础知识和基本技能的掌握还比较熟练，但对于专题类的问题特别是较难的动态问题还没有形成有效的解题策略与方法．

基于以上分析，本节课的教学难点为动态问题解题策略的领悟．

教学支持条件分析

动态问题由于涉及到点、直线、图形的整体运动，学生对运动中的图形变化过程难以掌控，比较抽象，若借助几何画板软件，实物操作等可以促进学生对数学问题的理解，所以本节课应借助实物投影，多媒体及几何画板等应用软件.另外，由于专题复习的内容较多，难度较大，教师可采用导学案的教学方式，提前将学案发给学生预习，为课堂教学提高效率．

教学过程设计

二、专题复习课的教学策略及启示

1.学案前置，以学定教

专题复习课内容多、难度高，为更好地了解学生的学习情况，掌握学生的思维困惑点，教师可以事先设计好学案. 例如，本节课中教师设计好预习学案，提前一天发给学生并要求学生完成，教学时学生会对自己的完成情况非常清楚，哪些是自己的难点也清楚，学生听的时候则更认真，更有针对性；授课结束之前教师收回，并认真了解学生的学习情况，教学的重点更易掌握，难点更易突破，这样的教学更具针对性，更高效．

当然，学案的编制也更要有针对性，不能只要是好题就让学生做，争取每一个问题的设置都要体现出教师的思考，每一个问题要体现教师对专题复习策略的意图，做到解决一个问题，并能总结出解题策略与方法，这是高效课堂的前提．在数量上，应遵循够用即可，切不可增加学生负担，更不能题海战术．本节课的学案设置呈阶梯性，由易到难，让不同程度的学生都能有所收获.

2.分散难点，易于掌握

专题复习课的难点多、运用的数学思想方法多，而如何将解决问题的策略与思想方法让学生领悟到，这是教学的难点. 笔者认为本，节课的教学中通过小题组分散教学难点是可以实现突破难点的方法的，我们都知道，解决动态问题的方法主要有：（1）找临界点，分类讨论；（2）建立模型，设未知数，利用方程思想解决．但在教学中如何将教师理解的策略与方法让学生领悟到，这是难点，多数时候，教师往往通过综合题、压轴题来讲解，熟不知多数学生在没有完全理解题意的情况下就已经对解题失去信心，教师虽然讲得头头是道，但学生已经听得迷迷糊糊，达不到教学的效果．

本节课中，笔者采用有梯度的五道试题，分散教学难点.例如，例1主要让学生感受到基本图形在解决动态问题中的作用；例2主要让学生体会到分类讨论是解决动态问题的策略之一，首先应整体把握动态过程，再根据图形的变化去找临界点，从而确定动态过程中的不同情况；例3是本节课的重点，主要让学生感悟基本图形中往往蕴含着特殊的等量关系，通过变式让学生领悟用字母表示动态问题的数量关系，抓住基本图形的等量关系，并利用方程求解是解决动态问题的基本策略，体现出以静制动的解题策略；例4则需要学生体会到不变性是研究动态问题的思路之一，解决问题的策略是用字母表示数量关系；例5则体现出动态问题的综合性，既是对所学策略的综合运用，又是对动态问题中所蕴涵的分类讨论、数形结合等数学思想方法的综合检验．

3.变式拓展，举一反三

实践证明，运用变式教学能促进学生学习的主动性，培养学生的创新精神，变式教学使一题多用，多题重组，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够激发学生产生主动参与学习的动力，培养学生的问题意识，从而提升学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力．通过变式使学生学会从事物之间的联系来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容．

学案导学的课堂，对于优等生来说，学案上的问题多数都能解决，若教师就题论题，学生的思维得不到发散．本节课中，每一道例题都不是就题论题，例1从简单的垂径定理的基本图形出发，变式为点动、线动；例2虽重点考查圆周角定理，但通过变式，由点动引起分类讨论，并用函数图象描述圆周角的变化情况；例3通过变换背景，改变圆的半径等等.通过追问不断地促进学生思考，这样的课堂是鲜活的、灵动的、高效的．

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]吴增生.专题复习要促进学生对数学思想方法认识的深化与提高：谈2013年中考数学专题复习[J].中国数学教育（初中版），2013（3）：9—14.