阿波罗尼斯圆的证明

阿波罗尼斯圆：一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。

这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。

这个定理的证明方法很多。下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。

如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA∶PB＝ m∶n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且

AM∶MB＝AN∶NB＝m∶n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。

下面先证明两个定理：

一、如图一，已知M是BC上一点，且AB∶AC＝BM∶MC，

求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）

证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB∶AD＝BM∶MC

∵AB∶AC＝BM∶MC，∴AB∶AD ＝AB∶AC，∴AC＝AD，

∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。

二、如图二，N是BC延长线上一点，BN∶CN＝AB∶AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC

证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN∶CN＝AB∶AD，∵BN∶CN＝AB∶AC，∴AB∶AD＝AB∶AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4，∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC

有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：

连结PM、PN，∵M为AB的内分点， PA∶PB＝AM∶MB ＝m∶n，∴PM平分∠APB

∵N为AB的外分点，AN∶BN＝PA∶PB ＝m∶n，∴PN平分∠BPE，

∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2，

∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2

即∠MPN＝90o，∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆