函数解题里有一句话叫“定义域优先”,因为不注意定义域的话,从根本上就是有问题的。
高中数学中我们说的定义域一般由两种途径确定:
一种是自然定义域,就是使函数解析式有意义时,自变量自然要满足的取值范围。
有一类题考查“定义域为R”,其实就是说任意实数都能使得解析式有意义,常见如根式内二次函数开口向上且与x轴无公共点,恒为非负的情形。
一种是题目里自行限定的定义域(当然得是自然定义域的子集)。
关于函数定义域有以下几类容易出错的问题。
例1. 已知f(x+2)的定义域是(-5,3),求f(2x+1)的定义域。
定义域都是指自变量(这里用x表示)的取值范围,这是没有疑义的。但学生容易迷惑的地方在于,前后的对应关系是怎样的?
有一个简单的处理方式:代换前后,f()括号里的取值范围保持不变。
在例1中,就是x属于(-5,3)可求出前一个括号里的x+2属于(-3,5),那么令后一个括号里的2x+1属于(-3,5),可解得x属于(-2,2),即所求定义域。
原理是,在我们做换元的时候,置换的两个元的取值范围是对应相同的。
例2.已知(x+2)^2 + (y^2)/4 = 1,求x^2 + y^2的取值范围
这道题很容易利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解,但极易忽略x、y满足的约束关系而造成定义域范围的扩大。
消元时可以用x^2表示y^2代入,即 y^2 = 4 - 4(x+2)^2. 这里y^2自然是非负的,也就约束x有相应的范围。在把 4 - 4(x+2)^2 代入 x^2 + y^2 后得到关于x的函数中,这一定义域并不会自然呈现,因为 4 - 4(x+2)^2 并不自然具有非负的约束。
再比如函数化简的过程中也存在类似问题。一个经典的例子:函数y = x^2/x = x,化简后不能丢掉x不为0的限制。
要注意的就是,题目里隐性的约束条件在换元后可能需要主动挖掘出来。
例3. (9-x^2)^(1/2) / (|x-4|+|x+3|)
这里如果不注意到利用定义域 [-3,3] 可以去掉分母的两个绝对值,就难以化简函数形式发现奇偶性。
此外函数的单调区间必须是定义域的子集就不需要再强调了吧。
再如用不等式求解最值时考虑“ = ”取到的条件是否在定义域内。
数列作为函数处理时别忘记定义域是正整数集或其子集,一系列离散的值。
说来说去,还是“定义域优先”那句话,函数的一切问题在定义域内考虑。
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