中考数学压轴题之定值问题分享

昨天，我们分享了压轴题中的动点问题，今天换道菜，来一道定值问题，看看定值问题是怎么去考查出题的？我们只有弄清楚此类题型的考法，并针对性地熟练掌握相关知识点，才能在此类题目面前立于不败之地。

今天这道题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度，是一道不错的中考试题．题目如下：

如下图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．

（1）试说明AE^2+CF^2的值是一个常数；

（2）过点P作PM//FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

题图

这道题目主要涉及的考点有：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；最值问题；定值问题等。

[分析]：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE^2

+CF^2=BF^2+CF^2=BC^2=16为常数；

（2）设AP=x，则PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的一元二次函数，求出DM的最大值．

【具体过程】：

解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC， ∴∠ABE=∠BCF，

∵在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC，

∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE=BF，

∴AE^2+CF^2=BF^2+CF^2=BC^2=16为常数。

（2）设AP=x，则PD=4﹣x， 由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP， ∴△PDM∽△BAP，∴DM/PD=AP/AB，即DM/（4-x）=x/4，

∴DM= -1/4x^2 + x，当x=2时，DM有最大值为1。

今天这道题你解出来了吗？正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；最值问题；定值问题等，都是中考中的常考点，必须下功夫熟悉这些知识，多加练习。希望这样的分享方式能够给每位读者以帮助，这将是我一直写下去的动力。