桥梁数理12：桥梁工程中的应用基础数学之有轴力的梁（6）

2.3.3 非齐次线性方程的解与常数变易法

考虑

阶非齐次线性方程

           (2-69)

其对应的齐次方程为：

            (2-70)

由2.3.2节中的叠加原理，我们容易知道有：

性质1：如果

为方程(2-69)的解，而

为方程(2-70)的解，则有

也是方程(2-69)的解；

性质2： 方程(2-69)的任意两个解得差必定为方程(2-70)的解。

因此，如果

是齐次方程(2-70)的基本解组，根据2.3.2中齐次方程解的结构，可知：

            (2-71)

是齐次方程(2-70)的通解。而如果

为非齐次方程(2-69)的特解，则根据上述性质1

      (2-72)

为非齐次方程(2-69)的通解。

假设

为非齐次方程(2-69)的任一解，根据性质2，

是齐次方程(2-70)的解。根据齐次线性方程解的结构，必然存在一组确定的常数

使得：

     (2-73)

即：

      (2-74)

这也就是说，非齐次线性方程的任一解

，可以由(2-72)给出；同时，由于

的任意性，说明式(2-72)给出的解不仅是非齐次方程(2-69)的通解，也包括了式(2-69)的所有解。这就证明了1.4.2节中所介绍的：非齐次线性方程的解由相应的齐次方程的通解与自身的一个特解相加得到。

接下来，我们继续推导1.4.2节介绍的常数变易法：当知道对应齐次方程的通解时，如何获得非齐次方程的一个特解。

式(2-71)为齐次方程(2-70)的通解，我们利用这个解，将系数

写成与

相关的待定值

，并假设

        (2-75)

为非齐次方程(2-69)的特解。方程(2-75)的待定系数有

个，因此，我们需要寻找

个约束条件。理论上，这些条件可以任意给出，由于我们只需要寻找方程(2-69)的一个特解，因此，我们可以按照下面方法给出这些条件。

将式(2-75)求一阶导数，则有：

        (2-76)

令

      (2-77-1)

则有

      (2-78-1)

继续对

微分式(2-78-1)，并取

部分取为0，则可以得到新的条件：

       (2-77-2)

与新表达式：

      (2-78-2)

重复上面的做法，我们可以得到

个条件：

(2-77-n-1)

将上述各式代入非齐次线性方程(2-69)，则得到第

个条件：

（2-77-n)

由此，我们得到一个线性方程组，其系数行列式就是伏朗斯基行列式

。当

是方程(2-70)的基本解组时，行列式值不为0，因此方程组的解可以唯一确定，求出

，对其积分即可得到待定系数

。这就是1.4.2节中介绍的常数变易法。

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作者简介：徐腾飞，博士，副教授，硕士生导师。美国混凝土协会（ACI）  美国土木工程学会（ASCE）会员。长期致力于环境影响下混凝土结构的正常使用性能研究。