1、 序言
大家都在欢度春节,家庭团圆,访亲问友,好吃好喝,旅游休闲,不亦乐乎。但总有少部分人,虽然平时工作忙得不可开交,然一旦闲下来,却又觉得无聊,又想在不那么紧张的节奏里读点与工作相关的东西。本人便属于这种,今天就写点儿茶余饭后的读物。当然,过年期间,还是尽量简短点儿好。
在结构力学中,我们学过功的互等定理,并根据它导出了实用的其他互等定理,例如位移互等定理、反力-位移互等定理等。大家一定还记得,当年我们完成老师留的结构力学作业时,都用过这些互等定理。但当我们学到了桥梁专业课的时候,或者在我们毕业工作后进行桥梁结构分析时,是否也应用过他们呢?应该说,肯定用过,只不过可能不是直接使用,而是间接使用过罢了。比如,使用有限元程序计算桥梁结构的影响线时,这个程序可能就是采用互等定理来计算影响线的(当然并不是所有的有限元程序都用互等定理计算影响线的)。
计算影响线采用互等定理?记得按结构力学的定义,计算桥梁结构影响线应该是采用一个单位力P=1,令他通过桥面上的每个点(如果使用有限元法,则是逐个作用在桥面上的各个节点处),依次计算出所要求的那个要素(内力、位移、反力等),就得到影响线了。假设桥面有n个节点,就需要进行n次加载并计算n次。这里面好像没有用到什么互等定理呀?
如果你有这样的想法,那一定是忘记或忽略了结构力学中的一些内容,那就让我们来一起回顾一下互等定理,并看一下其在有限元法中是如何应用的吧。
2、 利用反力—位移互等定理计算支座反力影响线
如图1所示,设桥面有n个节点,m(m=1,2,3,…,n)是其中的任意一个节点。根据反力—位移互等定理,作用在m点处的单位力P=1引起的支座k的反力Rkm,等于支座k发生顺Rkm方向单位位移Δk=1在P=1方向上引起的位移(以顺Rkm方向为正)。
根据影响线的定义,作用在m点处的单位力P=1引起的支座k的反力Rkm,就是支座反力Rk的影响线在m处的值。因m是桥面上的任意一个节点,所以,反力Rk的影响线在各点处的值就是Δk=1所引起的桥面各点挠度δmk,即
Rkm(m=1,2,3,…,n)=δmk(m=1,2,3,…,n) (1)
于是,利用反力-位移互等定理,求反力影响线问题变成了求支座单位位移引起的挠度问题。
图1反力-位移互等定理
3、利用位移互等定理计算位移影响线
有了上面的经验,很容易根据位移互等定理(图2)直接得出位移影响线竖标如下:
δkm(m=1,2,3,…,n)=δmk(m=1,2,…,n) (2)
图2 位移互等定理
即节点k的位移影响线值δkm,等于在节点k作用一个单位力P=1所引起的各点的挠度值δmk。
4、利用位移互等定理计算内力影响线
前面计算反力和位移影响线时,都是直接利用互等定理得出影响线的数值。看到这里,有人会说:如此简单,不用继续说了。请别高兴太早,当你要计算的是内力影响线时,就没有那么幸运了,你需要作点儿推导才能得到,而不是像前面那样直接就得到了。
如图3所示,欲求单元m的内力影响线,通常的作法是将单位力P=1按一定间隔从梁的一端向另一端移动,依次计算单位力在各个位置时单元m的内力,便得到其内力影响线。但这样做,求一条影响线就要求解很多次方程组。如果利用位移互等定理,则可以简单地通过一次计算就得到一条影响线。
由位移互等定理知,当单位力作用在k点时(图3),在i截面引起的位移与单位力或力矩作用在i点在k截面引起的挠度之间有下列互等关系:
图3 计算内力影响线
其中:θik|p=1、uik|p=1、vik|p=1分别为单位力P=1作用在k截面时在i截面引起的转角、轴向位移和竖向位移;vki |Mi=1、vki |Ni=1、vki |Qi=1分别为在i截面作用单位的弯矩
对于截面j也有类似的关系。可统一写成矩阵形式:
式中
为P=1引起的单元m两端i、j的位移列向量;
为在单元m的i,j两端分别加
设单元节点单位荷载列向量为
P=1引起的单元节点(内)力为
则
其中[Km]为单元刚度矩阵,下脚标
由此可见,分别将单元刚度矩阵[Km]的各列作为荷载加于单元m两端,求出的位移{vkm}就是单元m各节点力的影响线在k处的值。
4、内力影响线的修正
图4 单元力作用位置
如图4所示,按前述方法计算影响线时,实际上只计入了由于节点位移而引起的单元内力,也就是荷载作用在单元m范围以外,没有考虑单位荷载作用在单元m上时引起的固端力,即没有考虑图4(b)和4(c)的情况。当P=1作用在i或j节点时,认为只是图4(a)或4(d)所示情况。因此,对于单元m来说,按上述方法所解的i端的剪力影响线坐标是对应于图4(a)位置的(用Qia表示),j端的剪力影响线坐标则是对应于图4(d)位置的(用Qjd表示)。要得到突变值,还必须补充与图4(b)和图4(c)位置对应的影响线坐标(Qib和Qjc)。显然,由于荷载值P=1,所以突变增量必为1,即:
Qib = Qia 1, Qjc = Qjd-1 (10)
例:对于简支梁,其跨中剪力影响线如图5所示。
图5 简支梁剪力影响线
作者简介:李乔,西南交通大学教授,博士生导师,茅以升桥梁研究所所长,在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事,在土木工程学报等重要学术期刊任编委会委员或副主任委员。
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