0 题记
17世纪法国富二代洛必达曾经说过:人这辈子一共会死三次。
第一次是你的心脏停止跳动:那么从生物学的角度来说,你死了;
第二次是在葬礼上:认识你的人都来祭奠,那么你在社会上的地位就死了;
第三次是在最后一个记得你的人死后:那你就真的死了。
那么洛必达是如何知行合一并千古留名的呢?让我们穿越到17世纪90年代。。。
时间:1694年7月22日
地点:法国&瑞士
人物:洛必达,伯努利
事情经过是酱紫的:法国贵族子弟洛必达给自己的老师伯努利写了一封信。在信中,洛必达直言不讳,请老师把一个重要的定理卖给他。
非常奇葩的是,伯努利竟欣然答应了!!!
从此,洛必达将这个重要的定理冠以自己的名字,这就是今天广为大家熟知的“洛必达法则”。
很多童鞋对极限的计算都充满畏惧,这种状况直到上述洛必达法则的出现才有了根本的改变。洛必达法则告诉我们,求极限运算可转化为求导运算,而且在满足条件时可反复求导。
而一说到求导运算,很多同学的心情瞬间就好起来了。因为求导法则已经很完备并如此强大,要想让小编找出一个大家不会求导的函数那简直难于上青天,臣妾做不到!
1 洛必达初露锋芒
先看一道经典的试题。
聪明的童鞋可能已经发现,洛必达法则在计算极限 xlnx(x→0)时相当给力!
什么叫相当给力?你若不用洛必达法则把它给算出来了......
等一下,远方似乎传来辅导员的声音:
“
那
谁
,
你
该
转
到
数
学
专
业
去
啦
.
.
.
”
利用洛必达法则,可以秒杀很多以前计算起来非常棘手的极限!比如:
于是,很多童鞋抱着电线杆内牛满面:俺终于找到秘方啦!
不过,当他们冷静下来沉思片刻后,很多同学就开始骂街了:“你妹,这么好用的方法为何到现在才教给我们?”
其实,他们哪知道,这是高数老师蓄谋已久的阴谋:
这么牛叉的工具,如果一开始就教给你,那老师还怎么混啊?
要是不被极限计算虐的生无可恋,你怎能体会到洛必达法则的牛逼?
还有,最为重要的是,老师总不能一开学就给你讲洛必达花钱买定理这么一段不光彩的数学史吧?
2 洛必达牛刀小试
下面就来看看,洛必达法则在计算七种未定式极限时的魔法!
2.1 0/0,∞/∞型未定式
这是两类最基本的未定型,其他的未定型都可以通过某种方式转换为这两类未定型。
其计算的一般方法是:四则运算、变量代换、等价无穷小替换、洛必达法则&泰勒公式。
在计算过程中,要记住随时“四化”:
淡化:非零因子要立刻求出其极限;
简化:零因子要考虑是否能用等价无穷小替换;
有理化:碰到极限为0的无理式时,要记得有理化;
指数对数化:幂指函数的特殊处理方式。
看几道例题吧!
第(3)小题大家自己动动笔吧,数学不在动脑而在动手!(key:-1/2)
2.2 0·∞型未定式
这种未定式可以通过如下方式转换为0/0或∞/∞型。
2.3 ∞-∞型未定式
仍然是通过以下方式转换为0/0或∞/∞基本型。
3 洛必达坑你没商量
洛必达法则虽然充满魔法,但如果不注意使用条件,记错咒语,则很容易掉到坑里去。
另外,“一花独放不是春”,惟有将洛必达法则和其他计算极限的方法结合起来,并根据具体情况选择合适的方法,才是恋上高等数学的正确姿势。
下面看看洛必达法则的几个错误打开方式。
4 结语
有童鞋表示不服,上述最后一种错误打开方式4明明没错呀?
如果你非要用洛必达法则来求这道题,确实没问题。但是,这道题要使用7次洛必达才能得到结果,而且求导过程越来越复杂。
当然,你争辩说,要用这题来练习求导,那么你赢了。。。
如果这是一道考试题(还真的是一道考研题),等你洛必达完了,小编相信老师的试卷都改完了!!!
最后,这题应该使用极限计算中的终极武器---泰勒公式来解决!这是后话~
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