高中数学：利用判别式解题

在解题中，大家往往会遇到有关一元二次方程

（a、b、c

，a≠0）的问题，而利用判别式

解题，却能使问题化繁为简、化难为易。所以，如果已知条件中含有二次方程或二次函数，则可考虑直接应用判别式。

 

例1、已知

，求证：

。

证明：由已知得

构造函数

因

，所以

故

成立。

 

  例2、设实数x、y，且

。求

的取值范围。

解：已知

  ①

设

  ②

①－②整理得

  ③

由①得

，把③式代入得

，

则有

。  ④

在条件④下，

  ⑤

由③⑤可知，x、y是方程

的根。

因为

，所以

，解得

综上可知，

，即

总结：若题设中含有形如

、

的项，就可考虑用韦达定理构造二次方程。解本题需要有一定的数学思想，先求x＋y、xy，再构造二次方程，利用判别式解题。

 

例3、已知

，求证：

证明：视不等式的左边减去右边为一个关于x的二次函数，那么有

其判别式

 

故开口向上的二次函数

恒为非负，即对所有x、y、z，所求证的不等式成立。