1、逆向思维
例1、过点A（-1，5），B（-4，2）的直线交直线l：于点M，求AM：MB。
分析：通常是先写出直线AB的方程，再求AB与l的交点M的坐标，从而求出比值。若运用逆向思维，先设AM：MB＝λ，用λ表示点M的坐标，由点M在直线l上，即可求出λ值。
解：设AM：MB＝λ，则得
因为
所以
解得
故AM：MB＝2
例2、双曲线的任一切线交x轴于点A，交y轴于点B，O为原点，求证：△AOB的面积为定值。
分析：通常是先写出双曲线的任一切线的方程，求出A、B的坐标，再证得结论，当然可以，但过程较繁。若运用逆向思维，先设A、B的坐标，写出AB的方程。由AB与双曲线相切证得结论，则较为简便。
证明：设A（m，0），B（0，n），则直线AB的方程为：
即
因为直线AB是双曲线的切线，故
即的判别式△＝0
所以
因为
所以
故为定值。
例3、若椭圆与连结A（1，2），B（3，4）两点的线段没有公共点，求a的范围。
分析：通常是分两种情况考虑：
（1）A、B两点都在椭圆外；
（2）A、B两点都在椭圆内。
若从反面考虑则可避免分情况讨论，计算简洁。
解：先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围。易得线段AB的方程为：
由方程组
得
故a2在[1，3]内递增，且x＝1，3时的值分别为
故
因为a>0，所以
故当椭圆与线段AB无公共点时
2、极限思想
例4、求已知离心率，过（1，0）点且与直线l：相切于点，长轴平行于y轴的椭圆方程。
分析：通常是设椭圆中心为（x0，y0），可得椭圆方程，并列出过已知点P的切线方程，联立消参可求得椭圆方程。若按极限思想，将点圆、点椭圆视为圆、椭圆的极限情况，则可简化运算过程。
解：由，知
将点看作长轴平行于y轴且离心率的椭圆系，当时的极限情形（点椭圆），则与直线l：相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”有公共点的椭圆系方程
又因为所求的椭圆过点（1，0），代入上式得
故所求椭圆方程为
例5、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、FQ的长度分别是p，q，求的值。
分析：通常是先列出PQ的直线方程，求出直线PQ与抛物线的交点坐标，再根据两点间的距离公式求出p与q。
若按极限思想，使直线PQ的斜率不存在，则直线就是抛物线的对称轴，此时P为顶点，Q在无穷远处，用极限的观点得
所以
3、利用平面几何的有关知识
例6、过点P（-1，2）作直线l，使点A（-3，4）和点B（1，-2）到l的距离相等，求l的方程。
分析：通常是先设l的方程为，再利用已知条件求出斜率，故l的方程为。这样解，不仅计算量较大，而且漏掉了一解。
若通过思维变式，由平面几何知识可知：l过线段AB的中点Q（-1，1）或l//AB，从而较简便地求得l的方程。
引用直线的斜率解题时，应注意斜率不存在，即直线垂直于x轴的情形，以免漏解或导致其它错误。
解：因为点A、B到l的距离相等，所以l或过线段AB的中点Q（-1，1）或l//AB，于是l的方程为
或
即或
例7、直线l：交圆C：于A、B两点，求线段AB的垂直平分线的方程。
分析：通常是先求出l与C的交点A、B的坐标，再写出线段AB的垂直平分线方程。
若应用平面几何知识，则可知：过圆心O且垂直于l的直线就是线段AB的垂直平分线，由此易求出其方程。
解：过圆心O（0，-2）且垂直于l的直线就是线段AB的垂直平分线，故l的方程为
即
例8、以原点O为顶点的定角在坐标平面内绕点O旋转，角的两边分别交定直线l：x＝3于点A、B，求△OAB的外心M的轨迹。
分析：通常是设A点坐标，求B点坐标，再写出两边的垂直平分线的方程，从而求出外心M的轨迹，显然过程较繁，计算量较大。
若通过思维变式，充分利用平面几何知识则易得解。
解：设△AOB的外心为M（x，y），AB的中点为D，因为∠AOB＝θ
所以∠AMB＝2θ
于是∠AMD＝θ
因为
所以点M在直线l的左侧，即x<>
在Rt△AMD中
又
故
即
故△OAB的外心M的轨迹是这条双曲线的左支。
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