一、选择题
1(甲).C
解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知
所以
1(乙).B
解:
2(甲).D
解:由题设知,
解方程组
所以另一个交点的坐标为(3,2).
注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).
2(乙).B
解:由题设x2+y2≤2x+2y, 得0≤
因为
解得
以上共计9对
3(甲).D
解:由题设知,
中位数为
于是
3(乙).B
解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.
(第3(乙)题)
由于AC = BC,CD = CE,
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE,
所以△BCD≌△ACE, BD = AE.
又因为
在Rt△
于是DE=
4(甲).D
解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,
消去x得 (2y-7)n = y+4,
2n =
因为
4(乙).C
解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为
5(甲).D
解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以
5(乙).C
解:因为
设经过99次操作后黑板上剩下的数为
解得
二、填空题
6(甲).7<x≤19
解:前四次操作的结果分别为
3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.
由已知得 27x-26≤487,
81x-80>487.
解得 7<x≤19.
容易验证,当7<x≤19时,
7<x≤19.
6(乙).7
解:由已知可得
7(甲).8
解:连接DF,记正方形
由此得
(第7(甲)题)
在Rt△ABF中,因为
于是
由题设可知△ADE≌△BAF,所以
于是
又
因为
7(乙).
解:如图,设
(第7(乙)题)
所以
8(甲).
解:根据题意,关于x的方程有
由此得 (k-3)2≤0.
又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+
故
8(乙).1610
解:因为
当
当
当
所以符合题设要求的所有
9(甲).8
解:设平局数为
由此得0≤b≤43.
又
0≤
87≤
由此得
当
故
9(乙).
解:由题设得
所以
即
整理得
由二次函数
又因为
10(甲).
解:如图,连接AC,BD,OD.
(第10(甲)题)
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O
的内接四边形,所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此
因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,
于是
由△
所以
10(乙). 12
解:由已知有
(Ⅰ)若
(Ⅱ)若
(Ⅲ)若
因为有唯一正整数对
三、解答题
11(甲).解: 因为当
即
…………(5分)
当
且
解得
…………(10分)
设方程
因为
解得
因此
…………(20分)
11(乙).解:因为sin∠ABC=
AB = 10.
由勾股定理,得 BO=
(第11(乙)题)
易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6.
于是A(0,-8),B(6,0),C(-6,0).
设点D的坐标为(m,n),由S△COE = S△ADE,得S△CDB = S△AOB. 所以
解得n=-4.
因此D为AB的中点,点 D的坐标为(3,-4).
…………(10分)
因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心,所以点E的坐标为
设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x-6)(x+6). 将点E的坐标代入,解得a =
故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为
…………(20分)
12(甲). 证明:连接BD,因为
(第12(甲)题)
…………(5分)
设
…………(15分)
又因为
△BOC∽△
…………(20分)
12(乙).证明:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
(第12(乙)题)
所以 CI = CD.
同理, CI = CB.
故点C是△IBD的外心.
连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,
所以OI⊥AC,即OI⊥CI.
故OI是△IBD外接圆的切线.
…………(10分)
(2) 如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.
由
因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以
Rt△BCF≌Rt△AIE,
所以BF = AE.
又因为I是△ABD的内心,所以
AB+AD-BD = 2AE = BD.
故AB+AD = 2BD.
…………(20分)
13(甲).解:设a-b = m(m是素数),ab = n2(n是正整数).
因为 (a+b)2-4ab = (a-b)2,
所以 (2a-m)2-4n2 = m2,
(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m2.
…………(5分)
因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以
2a-m+2n
解得 a
于是
…………(10分)
又a≥2012,即
又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥
当
因此,a的最小值为2025.
…………(20分)
13(乙).解:假设凸
(1)若
…………(5分)
(2)若
当
…………(10分)
(3)若
当
由
…………(15分)
(4)若
综上,当
当
…………(20分)
14(甲).解:由于
于是
…………(10分)
当
…………(15分)
当
综上,满足条件的所有正整数n为
…………(20分)
14(乙).解:当
在数组
在数组
所以,
…………(10分)
下面证明当
不妨设2在第一组,若
此时考虑数8.如果8在第一组,我们取
综上,
所以,
…………(20分)
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