用一元二次方程解决问题

安徽省亳州市利辛县教育局督导室　夏　飞

【学习目标】：

 

  1. 根据实际问题会列一元二次方程，并求出实际问题的解；

 

  2. 根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；

 

  3.体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法。

 

 【学习重点】：体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力。

 

【学习难点】：如何把实际问题转化为数学模型。

 

【知识要点】：

 

   知识点1：基本知识

 

（1）一元二次方程的一般形式：

 

（2）一元二次方程的解法：开平方法；分解因式法；配方法；公式法。

 

（3）判别式：①当判别式

时，方程有两个不相等的实数根；②当

时，方程没有实数根；当判别式

时，方程有两个相等的实数根。

 

（4）根与系数的关系：设一元二次方程

的二根分别为

，则

，

 

知识点2：列方程解决问题的一般步骤

 

    （1）“审”。阅读理解题意，确定已知，未知，以及它们之间的数量关系。

 

    （2）“设”。在审题的基础上设立未知数帮助理解，建立相等的数量关系。

 

    （3）“列”。根据题意，列出含有未知数的等式。

 

    （4）“解”。就是求出所列方程的解。

 

    （5）“检”。就是解应用题既要检验有无增根，又要检验是否符合题意。

 

    （6）“答”。就是书写答案。但要注意，求出解后，要进行检验。

 

    知识点3：列一元二次方程解决实际问题的常见题型

 

    （1）平均增长（降低）率问题（包括百分率，折旧率，利息率）（2）营销问题

 

    （3）面积问题（4）数字问题 （5）几何问题 （6）开放题型的讨论

 

【典型例题】

 

例1：已知一元二次方程

的一根是另一根的两倍，求方程的两根和

的值。

 

解：设方程的两根分别为

和

，则：

 

  

 

从而

，

，

。

 

所以方程的两根为

和

，

的值为

。

 

例2：当

为何值时，方程组

 

（1）有两个相同的实数解？

 

（2）有两个不相同的实数解？

 

（3）没有实数解？

 

解：由②得

 

把③代入①，得

 

化简得

 

要使方程组有两个相同的实数解或两个不相同的实数解或没有实数解，只要方程④有相等实数根或有不相等的实数根或没有实数根，因此，它的判别式就会相应地等于零或大于零或小于零。

 

方程④的判别式为

 

（1）当

，即当

时，方程组有两个相等的实数解；

 

（2）当

，即当

时，方程组有两个不相同的实数解；

 

（3）当

，即当

时，方程组没有实数解；

 

 例3：一种药品经两次降价，由每盒60元调至52元，平均每次降价的百分率是多少？（精确到1%）

 

    解：设平均每次降价的百分率为

。

 

则

 

 

             

 

答：每次降价的百分率约为7%。

 

  例4：小明同学将100元压岁钱第一次按一年期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中50元捐给“希望工程”，剩余的全部按一年定期存入，这时存款的年利率调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后，可得本金和利息共63元，求第一次存款时的年利率。

 

解：设第一次存款时间利率为

。

 

 

    解之：

，

（舍去）

 

    答：第一次存款的年利率为10%。

 

 

 

  例5：汽车交易市场有一辆原价为12万元的车，但已使用三年，如果第一年的折旧率为20%，以后其折旧率有所变化，现知第三年这辆轿车值7.776万元，求这辆轿车第二年，第三年平均的折旧率。

 

解：设这辆轿车的第二、第三年平均折旧率为

。   

 

 

    ∴

，

（舍去）

 

    答：平均折旧率为10%。

 

  例6：一小区在一个长为40m，宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为

，求甬路的宽度。

 

 

 

 

    解：设甬道宽为

。

 

有

 

或

 

解之，得：

 

所以甬路的宽度为2

。

 

 例7：甲乙二人合做一项工作，甲因有事迟来了一天，又过3天才完成这项工作，若单独完成这项工作，甲比乙慢3天。求单独完成这项工作各需多少天？

 

解：设甲单独完成这项工作需要

天，则乙为（

）天，根据题意得方程：

 

 

化简整理，得：

 

所以

，

 

经检验

都是原方程的根，而

不合题意，舍去。

 

所以

（天）

 

答：若单独完成这项工作，甲需要9天，乙需要6天。

 

例8：有一块矩形的铁片，在它的四个角落各剪去一个边长是4cm的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，做成的盒子容积是1536cm³，求这块铁片的长和宽。

 

    解：设铁片的宽为

，则长为

 

∴

   

 

整理，得

 

    解得，

（舍去）当

时，

 

    答：铁片的宽为20

，长为40

。

 

  例9：友谊商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平时每天能售出8台，而当销售价降低50元时，平均每天就能多售出4台，该商场要想使这种冰箱销售利润每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

 

解：设每台冰箱降价

元，依据题意得：

 

 

解之：

，

 

    答：每台冰箱的定价为2750元。

 

  例10：一个容器中盛满

的纯药液，倒出纯药液后，用水加满，再倒出等量的液体，再用水加满，此时容器中的药液与水之比为

，问每次倒出液体多少升？

 

    解：设每次倒出液体

 

   

   

 

∴

（舍去）

 

    答：每次倒出液体为6升。

 

例11：如图，△ABC中，

，

，

，点P从A点开始沿AB边向点B以

的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以

的速度移动

 

    （1）如果P，Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于

。

 

    （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B点后又继续在BC边上前进，Q到C点后又继续在CA边上前进，经几秒钟，△PCQ的面积等于

。

 

 

解：（1）设经

秒钟，使△PBQ的面积等于

。

 

依据题意得：

，

 

 

（2）设经

秒钟，△PCQ的面积等于

。

 

依据题意得：

 

 

 

例12：某同学根据2009年安徽省内五个城市商品房销售均价（即销售平均价）的数据，绘制了如下统计图：

 

 

（1）这五个城市2009年商品房销售均价的中位数、极差分别是多少？

 

（2）若2007年A城市的商品房销售均价为1600元/平方米，试估计A城市从2007年到

 

2009年商品房销售均价的年平均增长率约是多少（要求误差小于1%）？

 

解：（1）中位数是2534（元/平方米）；极差是3515

2056

1459（元/平方米）．

 

（2）设A城市2007年到2009年的年平均增长率为

，由题意，得：

 

，

．

 

            ∵

，∴

，

 

            当

时，

1.3225＜1.324375，

 

当

时，

1.3456＞1.324375，

 

可知 1.15＜

＜1.16，∴0.15＜

＜0.16．   　

 

答：平均增长率约为15%（或16%等，答案不惟一）．

 

 

 

【巩固训练】

 

一、填空题：

 

1. 一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是         。

 

2. 用22cm的铁丝，折成一个面积为30cm²的矩形，则此矩形的长为        cm，宽为__________cm。

 

3、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是         。

 

4、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是           。

 

5、高温煅烧石灰石(CaCO₃)可以制取生石灰(CaO) 和二氧化碳(CO₂)。如果不考虑杂质及损耗，生产石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨,那么生产石灰224万吨,需要石灰石        万吨。

 

6、解方程

时，利用换元法将原方程化为

，则应设

_____。

 

7、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为

，根据题意列出的方程是___________。

 

8、一条长64

的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于160

，则这两个正方形的边长分别为                                 。

 

二、选择题：

 

1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 （    ）

 

A、10%         B、20%         C、120%         D、180%

 

2、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为(    )

 

A、

        B、

 

C、

     D、

 

3、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的二分之一．则新品种花生亩产量的增长率为（      ）

 

A、20％      B、30%         C、50%         D、120%

 

4、若两个连续整数的积是56，则它们的和是(     )

 

A、±15     B、15       C、-15      D、11

 

5、把一个正方形的一边增加2

，另一边增加1

，所得的长方形面积比正方形面积增加14

，那么原来正方形的边长是（    ）

 

A. 3

                  B. 4

                C. 5

                D. 6

 

 6、在一幅长80

，宽50

的矩形风景画的四周加一条金色纸边，制成一幅矩形的掛图，要使整个掛图的面积是5400

，设金色纸边的宽为

，那么

满足的方程是（   ）

 

    A.

                        B.

      

 

C.

                        D.

 

7、一批学生组织春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加，所交的费用与其他人相同，这样每人可少分摊3元，原来这批学生的人数是（    ）

 

A. 8        B. 10        C. 12        D. 15

 

 三、解答题：

 

1、一个长为5

的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为4

，如果梯子的顶端下滑1

，梯子的底端滑动了多少米？

 

2、如图，把长AD

，宽AB

的矩形沿着AE对折，使D点落在BC边的F点上，求DE的长。

 

 

3、从一块长80

，宽60

的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求剩下的长方形框四周的宽度。

 

4、生物学习小组准备利用学校仓库房的一块空地，开辟一个面积为130

的花圃。打算一面利用长为15

的仓库墙面，三面利用长为33

的旧围栏，求花圃的长和宽。

 

5、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250

，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440

。

 

求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；

 

(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。

 

6、在解一元二次方程时，粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题，甲抄错了常数项，得到的两根分别是8和2；乙抄错了一次项系数，得到的两根分别是

和

.你能找出正确的原方程吗?若能，请你用配方法求出这个方程的根.

 

7、某旅行社为吸引市民组团去当地风景区旅游，推出了如下收费标准：

 

 

单位组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社的旅游费用为27000元，请问该单位这次共有多少员工去这一风景区旅游？

 

答案与提示：

 

一、填空题：

 

1、提示：设十位数字为

，则个位数字为

，依据题意可得：

，化简整理得：

，所以

，则个位数字分别为5，6；故符合题目条件的两位数为25或36。

 

2、设矩形的长为

，则：

，解得

（舍去），所以矩形的长为6cm，宽为5cm。

 

3、20%；

 

4、10%；

 

5、400；

 

6、

 

7、

 

8、12

、4

；

 

二、选择题：

 

1、B；  2、D；  3、A；  4、A；  5、B；  6、D；  7、设原来这批学生的人数是

，依据题意得方程：

，化简整理得：

，解得：

（舍去），所以原来这批学生的人数是12。故答案选C。

 

三、解答题：

 

1、1

。

 

2、

；

 

3、设剩下的长方形框四周的宽度为

，依据题意得方程：

，化简整理得：

；

 

解得：

（不合题意，舍去），所以剩下的长方形框四周的宽度为10

。

 

4、设花圃的长为

，则宽为

，依据题意得：

，化简整理，得：

，解得：

（舍去），（注：长或宽需接近15

）。则宽为7

。

 

5、（1）1000

；（2）20%。

 

6、

，

。

 

7、设该单位这次共有

名员工去风景区旅游，因为

，所以员工人数一定超过25人。  可得方程：

； 解得：

。当

时，

，故舍去

。当

时，

，符合题意。答：该单位这次共有30名员工去该风景区旅游。