前言
对于初中代数部分的解题方法,我们如果对数学对象细心研究,就发现不同的解题方法,有些解题方法使我们的思维有了耳目一新的感觉,把这些解题技巧串联起来,便于发现问题的实质,从而“巧思”、“巧解”、“巧算”不在时望尘莫及的事,这些方法掌握后,将少走很多弯路,省力省时,提高解题的准确性,以下是以中考试题为例,对于部分解题方法进行剖析.
技巧一 裂项法;
适用范围:当分最简公母因式比较多时,不能按照常规思维直接通分即找出各分母的最简公分母然后去分母,此类题目的特征一般是:每个分式的分母是两项代数式的积,并且这两个代数式的差都是一个定值,我们可将每一个分式先拆成两项,即:
例1. 化简
常见思路:
=
=
打破常规:
技巧二、反复加减法:
适用范围:解形如
常见思路:利用加减消元或代入消元法解方程组如上解:
①×2-②,得
∴原方程组的解为
打破常规:
①+②,得
②-①,得
③+④,得
∴原方程组的解为
(注:可由③2-④2直接构造得
技巧三、结论构造法:
适用范围:在代数式的求值过程中,根据题设的条件特征,在结论式中构造题设的特征,一般所给出的代数式的值有两个,并且满足
例3.(桂林2010)先化简,再求值:
常规思维:
解:原式
=
当
原式=
打破常规:
解:∵
当
原式
技巧四、建模法:
适用范围:在求点的分布位置时,如果点的坐标是相关联的代数式,我们可以依据其特征将代数关系建立一个数学模型,一方面是为了简化解决过程中的复杂现象,另一方面是借助于模型的性质去解决问题,这样模型中的数学性质或关系可以明显的反映对象的实质.
例4.点
常规思维:
用特殊值代入法列举,可以列出一些点,由点的坐标规律确定点的位置,解决过程较繁琐.
打破常规:
解:设
∵
则点
技巧五、分析法:
适用范围:当所给的问题按照正常的方法解决比较繁琐或不能解决时,我们可以分析法式子的因果关系,
从求证的式子出发,“由果索因”,逆向逐步找这个式子成立需要具备的条件,从而达到解决问题的目的.
例5.解方程
常规思维:
解:∵
∴
∴
打破常规:
∴
∴
技巧六、特殊值法:
适用范围:在分解因式或者是其它代数式运算时,如果你不会用正常方法求解,我们可以用特殊值代替题设中的普遍条件,得出特殊的结论。当题目已知条件中含有某些不确定的量,而题目的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将变量取一些特殊数值或特殊位置,或者一种特殊情况来求出这个定值,从而简化了推理论证的过程,但代入特殊值时,一般不要使代数式的值为0.
例6.(2011山东潍坊)分解因式:
常规思维:
解:
=
打破常规:
解:设
∵
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