有理数中的“非负性”问题

湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

我们知道：有理数中，任何数的绝对值和偶次方都是一个“非负数”，即

≥0，

≥0（n为整数）。我们称其具有非负性。这两条性质常作为求解很多有理数问题的隐含条件，我们要熟练掌握。

一、绝对值的非负性

例1 若m、n满足

，则－ｍ·ｎ=           。

解：∵

，

  又

∴3m－６＝０　ｎ+４＝０　∴ｍ＝２　ｎ＝－４

∴—ｍｎ＝－２×（－４）＝８　。

例2 若

，

求：

的值

解：∵

，

又

    ∴a－１＝０　ａｂ－２＝０　∴ａ＝１　ｂ＝２

　　原式＝

　　　　＝

　　　　＝１－

＝

二、偶次幂的非负性

例３已知

，求：⑴

；　　⑵　

解：∵

，

　又

∴ｘ－２＝０　３－ｙ＝０　∴ｘ＝２　ｙ＝３

⑴

＝

＝８　　⑵　

＝

　　由上面三道例题，我们可以看出：绝对值、偶次幂的非负性通常都是作为隐含条件出现的。解答这类问题的一般步骤是：①先根据绝对值或偶次幂的非负性，求出有关字母的值；②再将所求得的字母值代入相应的代数式。求解时，还要注意突出分析过程，而不能直接赋值计算。