线段AB 、CD相交于点O,连结AB、CD,我们把这样的基本图形称之为“对顶三角形”(如图所示).显见,“对顶三角形形”有如下性质:∠A+∠D=∠C+∠B(读者可自已证明).
对于求角问题,若图形中含有“8字形”, 运用“8字形”的性质求解,可获事半功倍之效.
例1 如图1,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_____度.
析解:图中有若干个现成的“8字形”.因为∠A+∠B=∠1+∠3 ,∠C+∠D=∠1+∠2,∠E+∠F=∠2+∠3,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180
例2 如图2,在五角星中,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
析解:图中虽有现成的“8字形”,但不易将这五个角集中到同一三角形中来,故连BC,构造新的“8字形”.因为∠1+∠2=∠A+∠D,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=∠E+∠EBC+∠ECB=180
例3如图3,若∠A=120
析解:连BE,构造四边形ABEF,因为∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360
例4如图4,已知 ∠E+∠F=∠H,求:∠A+∠B+∠ACD+∠CDG的度数.
析解:过点H作HJ∥EB,则∠E=∠EHJ,因为∠E+∠F=∠H,所以∠JHF=∠F,所以HJ∥FG,从而EB∥FG.延长DC交EB于M,则∠BMD+∠MDG=180
例5 如图5,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.解答下列问题:
(1)若∠D=40
(2)如果图中的∠D和∠B为任意角时,其它条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系?(直接写出结论即可)
析解:
(1)由“8字形”的性质知∠DAP+∠D=∠DCP+∠P,
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,
即∠P=∠DAP+∠D-∠DCP ①,
∠P=∠PCB+∠B-∠PAB ②.
由条件知∠DAP=∠PAB,∠PCB=∠DCP,
①+②得 2∠P=∠D+∠B=40
(2)仿(1)易知∠P与∠D、∠B之间的之间的关系为∠P=
练习:
如图,BD是△ABC中∠ABC的角平分线,CD是△ABC的外角∠ACE的平分线,它与BD的延长线交于点D,我们将会得到∠A=2∠D这一结论,试想一想为什么?并加以说明.
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