巧设参数解赛题一例

湖北省黄石市下陆中学702班　施　琪　指导老师：周国强

    我在《新帮手》一书中看到这样一道赛题：

 

某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲 、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了60级到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数是多少？（北京市竞赛题）

 

想了好一阵子，没门。老师提示我：有些赛题隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，如果不指明这些量的存在，则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，即辅助未知数，作为桥梁帮助思考．我又和几个同学探讨出了下面两种解法，想和读者一起共同体会一下设参数解赛题的滋味．

 

解法1：此类问题如同轮船在江河中顺水航行，将扶梯速度看成流水的速度，将登梯人看成轮船，那么从楼下到楼上的速度=扶梯的速度+登梯人在静止扶梯上登梯的速度．设登梯人甲在静止扶梯上登梯的速度为a，登梯人乙在静止扶梯上登梯的速度为b，扶梯运动的速度为c，则甲在运动的扶梯中上楼的速度为（a＋c），乙在运动的扶梯中上楼的速度为（b＋c），由题意知b＝2a，又设甲从楼下到楼上用时x，乙从楼下到楼上用时y，则从楼下到楼上扶梯的级数是（a＋c）x或（b＋c）y，所以，有（b＋c）y＝（b＋c）y，即x：y＝（b＋c）：（a＋c）＝（2 a＋c）：（a＋c）（1），且有a x＝55（2）及2 a y＝60（3），由（2）、（3）得x：y＝11：6（4），由（1）和（4），得11a＋11 c＝12 a＋6 c，即a：c＝5：1，即甲登梯的速度是扶梯自身运动速度的5倍，因为扶梯和人是同时运动的，所以当甲登55级到楼上时，扶梯自身运动了55×

＝11（级），故从楼下到楼上扶梯的级数是55＋11＝66级．

 

                                                  

 

解法2：先假设如果扶梯不运动，那么甲乙二人分别登55步和60步都是到不了楼上的，设甲从楼下到楼上用时x，乙从楼下到楼上用时y，甲登楼的速度为a，乙登楼的速度为2a，依题意，有a x＝55及2 a y＝60，由这两式可知，他们登楼的时间关系式为：y＝

x  (1)；再考虑扶梯运动的情形：甲登55步（或乙登60步）之所以能到达楼上，（设从楼下到楼上有m级扶梯），是因为余下的扶梯的级数（m－55）或（m－60）是由扶梯自已运动上去的（如图所示），由于人和扶梯是同时开始运动且扶梯运动的速度是匀速的，所以

(2)，将（1）代入（2），解得，m＝66（级）．