湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理
基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性。
举例如下：
（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=
，若
，
，则P+Q中元素的有________个。（答：8）
（2）设
，
，
，那么点
的充要条件是________（答：
）；
（3）非空集合
，且满足“若
，则
”，这样的
共有_____个（答：7）
2.遇到
时，你是否注意到“极端”情况：
或
；同样当
时，你是否忘记
的情形？要注意到
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
举例如下：
集合
，
，且
，则实数
＝______.（答：
）
3.对于含有
个元素的有限集合
，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
。
举例如下：
满足
集合M有______个。 （答：7）
4.集合的运算性质： ⑴
； ⑵
；⑶
； ⑷
； ⑸
； ⑹
；⑺
。
举例如下：
如设全集
，若
，
，
，则A＝_____，B＝___.（答：
，
）
5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：
—函数的定义域；
—函数的值域；
—函数图象上的点集。
举例如下：
（1）设集合
，集合N＝
，则
___（答：
）；
（2）设集合
，
，
，则
_____（答：
）
6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
举例如下：
已知函数
在区间
上至少存在一个实数
，使
，求实数
的取值范围。 （答：
）
7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。
举例如下：
在下列说法中：
⑴“
且
”为真是“
或
”为真的充分不必要条件；
⑵“
且
”为假是“
或
”为真的充分不必要条件；
⑶“
或
”为真是“非
”为假的必要不充分条件；
⑷“非
”为真是“
且
”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________（答：⑴⑶）
8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。
提醒：
（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；
（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；
（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；
（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“
”判断其真假，这也是反证法的理论依据。
（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为 （答：在
中，若
，则
不都是锐角）；（2）已知函数
，证明方程
没有负数根。
9.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若
，则A是B的充分条件；若
，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。比如：
（1）给出下列命题：①实数
是直线
与
平行的充要条件；②若
是
成立的充要条件；③已知
，“若
，则
或
”的逆否命题是“若
或
则
”；④“若
和
都是偶数，则
是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；
（2）设命题p：
；命题q:
。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：
）
10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为
的形式，若
,则
；若
,则
；若
,则当
时，
；当
时，
。
如已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为_______（答：
）
11. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当
和
时的解集你会正确表示吗？设
,
是方程
的两实根，且
，则其解集如下表：
或
或
R
R
R
如解关于
的不等式：
。（答：当
时，
；当
时，
或
；当
时，
；当
时，
；当
时，
）
12. 对于方程
有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数
是否为0，其次若
，则一定有
。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？比如：
（1）
对一切
恒成立，则
的取值范围是_______（答：
）；
（2）关于
的方程
有解的条件是什么？(答：
，其中
为
的值域)，特别地，若在
内有两个不等的实根满足等式
，则实数
的范围是_______.（答：
）
13.一元二次方程根的分布理论。方程
在
上有两根、在
上有两根、在
和
上各有一根的充要条件分别是什么？
（
、
、
）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间
讨论方程
有实数解的情况，可先利用在开区间
上实根分布的情况，得出结果，再令
和
检查端点的情况．
如实系数方程
的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则
的取值范围是_________（答：（
，1））
14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程
的两个根即为二次不等式
的解集的端点值，也是二次函数
的图象与
轴的交点的横坐标。比如：
（1）不等式
的解集是
，则
=__________（答：
）；
（2）若关于
的不等式
的解集为
，其中
，则关于
的不等式
的解集为________（答：
）；
（3）不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围是_______（答：
）。
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