向量的坐标表示；数量积

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

向量的坐标表示；数量积

 

二. 重点、难点：

1.

2.

则

则

即

，

3.

      

 

 

【典型例题】

[例1] A（

）B（

）C（

）且

，

，试求M、N及

的坐标。  

解：

  

    ∴ M（0，20）

（12，6）    ∴ N（9，2）    ∴

 

[例2]

，

（1）若

，求

（2）若

，求

解：设

（1）

或

∴

（2）

或

∴

 

[例3]

，

，

，

，若

，则

        。

解：

，

    ∴

    ∴

 

[例4] A（1，7）B（0，0）C（8，3），D为线段BC上一点，若

，求D点坐标。

解：D在线段BC上   ∴

   

∴

    ∴

   

 

    ∵

    ∴

∴

    

   ∴

 

[例5]

，

为何值时

解：

   ∴

∴

    ∴

 

[例6] 梯形ABCD，AB//CD，A（1，1），B（

），C（

）且

，求D坐标。

解：设D（x，y）

，

∵

    ∴

∴

    ∴ D（

）

[例7]

，M为直线OP上一点，求当

最小时，

的坐标及

的余弦值。

解：O、M、P三点共线    ∴

  

∴

时，

此时

   ∴

 

[例8]

，围绕原点，按逆时针方向旋转

，得

，求

的坐标。

解：设

，

　　∴　

∵　

夹角

     ∴

   ∴

∴

    ∴

或

（舍）

∴

 

[例9] 正方形OABC边长为1，求D、E为AB、BC中点，求

的余弦值。

解：以OA、OC为x，y轴建立直角坐标系 

∴

∴

   ∴

 

[例10] 直角

，

，求

。

解：

（1）

，

    ∴

    ∴

（2）

，

  

   

（3）

，

  

    

∴

 

[例11]

为单位向量，夹角为

。

（1）求

与

的夹角的余弦；

（2）若

与

夹角

，求

。

解：

  

（1）

（2）

   

∴

   ∴

或

（舍）

 

[例12]

为非

且

，

，求

夹角。

解：由已知

∴

   ∴

   

 

【模拟试题】

1. 平面上有三点A、B、C坐标分别为（1，3）（7，y）（2，2），若

，则

（    ）

    A. 9    B. 8    C. 7   D. 6

2.

，

，则

（    ）

    A. 10    B. 14    C.

    D.

3.

，则

夹角为（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

4. 下列关于

叙述正确的结论为（    ）

A.

                    B.

C.

                               D. 若

，则

5. 若

恰好满足

，则一定有（    ）

    A.

    B.

    C.

或

    D.

 

6. 若

，且

，则

与

的关系为（    ）

    A. 平行    B. 垂直    C. 相交不垂直    D. 无法判断

7. 在

中，设

，若

，则

为（    ）

    A. 锐角三角形    B. 直角三角形    C. 钝角三角形    D. 均有可能

8. 矩形ABCD中，

，设

，当

时，

（    ）

    A. 1    B. 2    C.

    D.

9.

，

的最小值为（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

10.

，则与

垂直的向量为（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

1. C    2. B    3. C    4. B    5. D    6. B   7. C    8. C    9. C    10. B