【本讲教育信息】
一. 教学内容：
椭圆的几何性质
二. 教学目标：
通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．
三. 重点、难点：
重点：椭圆的几何性质及初步运用．
难点：椭圆离心率的概念的理解．
四. 知识梳理
1、几何性质
（1）范围
，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．
（2）对称性
把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称
（3）顶点
在
中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）．
①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；
②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
（4）离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义：
椭圆的焦距与长轴的比
椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．
当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁；
当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
当e＝0时，c＝0，a＝b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2＋y2＝a2，图形就是圆了．
2、性质归纳为如下表：
标准方程
图像
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴均对称，关于原点中心对称
顶点坐标
长轴端点A1（－a，0），A2（a，0）；短轴端点B1（0，－b），B2（0，b）
长轴端点A1（0，－a），A2（0，a）；短轴端点B1（－b，0），B2（b，0）
焦点坐标
F1（－c，0），F2（c，0）
F1（0，－c），F2（0，c）
半轴长
长半轴长：a，短半轴长：b
焦距
2c
a，b，c关系
离心率
【典型例题】
例1. 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
解：（1）列表。将
，根据
在第一象限
的范围内算出几个点的坐标（x，y）
（2）描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆．
例2. 若椭圆
的离心率为e＝
，求实数k的值。
解：当焦点在x轴上时，有
得k＝8.
当焦点在y轴上时，有
得k＝
.
所求的k＝8或
。
例3. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的距离的最小值为
，求椭圆的方程。
解：
∴所求的椭圆方程为
例4. 椭圆
（a>b>0）上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2＝α，求证△F1MF2的面积为b2tan
.
解：设M F1＝m，M F2＝n，
则m＋n＝2a，且4c2＝m2＋n2－2mncosα＝（m＋n）2－2mn（1＋cosα）
4b2＝2mn（1＋cosα）
例5. 如图，椭圆的长短轴端点为A，B，过中心O作AB的平行线，交椭圆上半部分于点P，过P作x轴的垂线恰过左焦点F1，过F1再作AB的平行线交椭圆于C，D两点，求椭圆的方程。
解：设所求的椭圆方程为
（a>b>0）
则P（－c，
），
又AB∥OP∴
直线CD的方程为y＝
（x－c），将其代入椭圆方程化简得，2x2－2cx－c2＝0
∵
∴
所求的椭圆方程为
【模拟试题】（答题时间60分钟，满分100分）
一、选择题（5分×8＝40分）
1、已知椭圆
上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则P点到另一个焦点的距离为： （ ）
A、2 B、3 C、5 D、7
2、椭圆的一个焦点与两个顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的（ ）
A、
倍 B、2倍 C、
倍 D、
倍
3、椭圆
的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是：（ ）
A、
B、
C、
D、
4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率为 （ ）
A、
B、
C、
D、
5、椭圆
（a>b>0）的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰好为c，则椭圆的离心率为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、若以椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则此椭圆长轴的长的最小值为（ ）
A、1 B、
C、2 D、2
7、椭圆的两个焦点分别为F1、F2，以F2为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，已知直线F1M与圆F2相切，则离心率为 （ ）
A、
B、
C、
D、
8、设椭圆
（a>b>0）的两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，若PF1⊥PF2，则｜PF1－PF2｜等于（ ）
A、
B、2
C、
D、2
二、填空题（5分×4＝20分）
9、平面上点P到两个定点A、B的距离之和等于|AB|，则P点轨迹是 。
10、已知对称轴为坐标轴，长轴长为6，离心率为
的椭圆方程为 。
11、椭圆
的离心率为
，则实数m的值为 。
12、若M为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠MF1F2＝2∠MF2F1＝2α（α≠0），则椭圆的离心率是 。
三、解答题（共40分）
13、（满分8分）已知椭圆
的焦点在
轴上，焦距是4，且经过
，求此椭圆的方程。
14、（满分10分）若点
在椭圆
上，
分别是椭圆的两个焦点，且
，求
的面积。
15、（满分10分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点A，上顶点B，左焦点F1到直线AB的距离为
|OB|，求椭圆的离心率。
16、（满分12分）已知F1（－3，0），F2（3，0）分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的点，满足PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分线交F1F2于M（1，0），求椭圆方程。
【试题答案】
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
D
D
C
B
二、填空题
9、线段AB
10、
11、m＝3或m＝
12、
三、解答题
13、解：因为焦距为4，所以
即
①…………3′
设椭圆方程为
因为
在椭圆上
所以
②…………6′
由①②得
所以椭圆方程为
…………8′
14、解：设
由椭圆
得
…………2′
即
①…………4′
是直角三角形
4 ②…………6′
由①②得
…………8′
所以
…………10′
15、解：直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0，…………4′
则左焦点F1（－c，0）到其距离为
16、解：PF2⊥F1F2，PF2＝
，…………2′
∵
，………………4'
…………………………6'
………………8'
又
………………10'
………………11'
所求的椭圆方程为
……………………12'
本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请
点击举报。
