选修2－1知识复习（二）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

◆ 选修2－1知识复习（二）

 

二. 教学目的

通过对选修2－1各章节重点知识分析及例题讲解，加强对本册知识的掌握。

 

三. 教学重点、难点

重点问题专题讲解

 

四. 知识分析

（八）抛物线

抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（F

l）距离相等的点的轨迹。抛物线部分的重点是抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程和几何性质。难点是利用抛物线的定义解题，求抛物线的方程以及抛物线几何性质的应用。下面通过几例来体验一下如何突破抛物线的重难点。

  例1. 如图所示，AB为抛物线

上的动弦，且

（a为常数且

），则弦AB的中点M与x轴的最小距离为__________。

       分析：将M到x轴的距离转化为A，B两点到准线的距离，进而转化为A，B两点到焦点的距离，从而利用定义解题。

       解：设A，M，B点的纵坐标分别为

，且A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为

。

       由抛物线的定义知：

      

， 

       所以

       又M是线段AB的中点，

       所以

          

       等号在定长为a的弦AB过焦点F时成立，此时M点与x轴的距离最小，最小值为

（

）。

       点评：本题运用了抛物线的定义，并注意挖掘题目中隐含的几何条件（三角形的性质），使解题过程简明快捷。另外，抛物线

过焦点的弦的最小长度为1，故

的条件保证了AB过焦点，即本题的最小值可以取到。

 

  例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点（－3，m）到焦点的距离为5，求抛物线的方程。

分析：应分焦点在y轴正半轴和负半轴两种情况考虑，利用抛物线的定义，结合待定系数求抛物线方程。

       解：若焦点在y轴的正半轴上，则可设方程为

       准线方程为

，  所以

       又因为

，所以

，所以

。解得p=1或

。

       所以抛物线方程为

或

       若焦点在y轴的负半轴上，则可设方程为

       准线方程为

，所以

       又因为

，所以

。

       所以

。解得p=1或p=9

       所以抛物线方程为

或

。

 

  例3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线

上异于坐标原点O的两个不同动点A，B满足AO⊥BO，如图所示。

       （1）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（2）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

分析：求动点轨迹的常规方法，就是设动点（x，y），找该点与A（

），B（

）的关系，再求轨迹方程。求面积的最小值经常与二次函数以及均值不等式联系在一起。

解：（1）设△AOB的重心为G（x，y），点A（

），B（

），则

       因为AO⊥BO，所以

       即

             ③

       又点A，B在抛物线上，所以

       代入③化简得

       由①得

       所以

         

       即重心G的轨迹方程为

。

       （2）

       由（1）得

       因为

       所以

，且当x=0时，

       所以

       故△AOB的面积存在最小值，最小值为1。

       点评：本题考查了轨迹问题、最值问题，同时考查了同学们推理运算能力及综合运用知识解题的能力，应注意代入法的使用。

 

（九）直线与圆锥曲线

       直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线中的重要内容，也是近年高考的热点内容。只要是考查圆锥曲线问题，一般都是与直线结合。因此我们扎实地掌握基础，熟练地掌握各种技能是必须的。本文对这一小块内容进行小结，希望会对你有所帮助。

一、重点再现

       直线与圆锥曲线问题的求解思路通常有两条：其一是借助方程，将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y得到关于x的方程

（当然，也可以消去x得到关于y的方程），通过分析方程产生结论；其二是数形结合，由于抛物线及双曲线的特殊性，有时借助于数形结合可能会更直观、更方便。我们知道当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切。

 

二、难点回顾

       由于直线与圆锥曲线的位置关系可以涉及直线与圆锥曲线的所有基础知识与基本技能，又可以与函数、方程、不等式等知识进行交汇，因而它是解析几何的难点之一。

 

三、典例解析

  例1. 求过点P（2，1）且被点P平分的椭圆

的弦所在直线的方程。

       解法一：设所求直线方程为

，

       则

       消去y，并整理得：

      

       由

得

。

       于是所求直线方程为

       解法二：设弦的两端点分别为（

）与（

），

       则由

       可得：

      

       所以

       于是所求直线方程为

       评析：直线与圆锥曲线相交，出现“中点弦”问题的常规处理方法有两种：

       （1）通过方程组转化为一元二次方程，结合韦达定理及中点坐标公式进行求解；

（2）点差法：设出弦的两端点，利用中点坐标公式进行求解。

 

  例2. 已知直线

与双曲线

关于A，B两点。

       （1）若以AB为直径的圆过原点，求实数a的值；

（2）若A，B在双曲线的两支上，求实数a的范围。

解：由

       可得：

       由于直线与双曲线有两个交点，

       因此，可得：

      

       （1）设A（

），B（

），

       则

       即

       也就是

       所以

       解得

       （2）若A，B在双曲线的两支上，则

       即

       于是可得

。

       评析：涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常常将直线方程与圆锥曲线方程联立构成方程组，消元后，得到关于x（或y）的一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解，这是常用的方法，本题就是利用这个解题方法进行求解的。

 

  例3. 过点（－2，0）的直线l与抛物线

交于A、B两点，求AB的中点的轨迹方程。

       解：易知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为

       设A（

），B（

），AB的中点坐标为（x，y），则

。

       于是

       相减得：

       那么

       由于

       所以

       即

       又由

，得：

      

       由

，得：

       k>0或

。又k=2x，

       所以x>0或x<－4

       因此轨迹方程为

。

       评析：整体运算是一种运算策略，它通过整体推理、整体代换等手段有效地绕过许多中间环节使运算直指结论。它既可优化解题过程又可给我们带来一种赏心悦目的享受，本题借助整体运算产生中点轨迹方程，其过程既简练又运算简单。

       好了，说了这么多，你看后有收获吗？若有，别忘了把它推荐给你的同学，让你们共同提高啊！

 

（十）空间向量及其运算

一、知识要点

  1. 空间任意两向量

共线的充要条件是存在惟一实数

，使

。

       注：

与任一向量共线。

  2. 空间中

与不共线向量

共面的充要条件是存在惟一一对实数x，y，使

。

该定理的推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在惟一一对有序实数x，y，使

，或对空间一点O有

。

       注：空间任意两向量必共面。

  3. 如果

不共面，那么对空间任一向量

，存在惟一的有序实数组x，y，z，使

。

       注：空间上四个点共面的充要条件为：若存在实数x，y，z，使得对于空间任意一点O，有

，且

成立，则P，A，B，C四点共面。

  4. 空间向量的数量积及向量平行或垂直的坐标表示。

       设

=（

），

=（

），则有：

      

      

      

 

二、典例精析

  例1. 已知非零向量

不共线，如果

，

，求证：A，B，C，D共面。

       分析：要证A，B，C，D共面，只须证

共面，即找到惟一一对实数x，y，使

。

       证明：观察易得：

      

       即

。

       所以

共面，即A，B，C，D共面。

       点评：要证四点共面，可证从同一点出发的三向量共面，此时应注意待定系数法的使用。

 

  例2. 如下图，已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD内的射影恰好是正方形的中心O。Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值。

       （1）

；

（2）

。

       分析：要求x，y的值，实际上是求如何用

，

来表示

，用

来表示

。

       解：（1）

               

       所以

       （2）因为

，所以

。

       又

，所以

。

       所以

          

          

       所以

。

       点评：空间任一向量都可以用基底惟一表示，所以将

用基底

表示，其系数是惟一的。解题中应多注意结合图形使用加法、减法、数乘等运算法则。

 

  例3. 已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设

。

       （1）设

，求

；

（2）求

；

（3）若

与

互相垂直，求k。

解：（1）因为

=（－2，－1，2）且

，

所以设

所以

     

解得

所以

=（－2，－1，2）或

=（2，1，－2）。

（2）

=（1，1，0），

=（－1，0，2）

所以

       因为

，

       所以

       （3）易知

      

       又

       所以

       即

       解得

或

。

       点评：在运用夹角公式求解时，应注意角的范围。通过列方程、解方程解决问题，这种思路在解决空间向量问题时应用十分广泛。

 

（十一）空间向量在立体几何中的应用

由于向量具有“形（几何形式）神（坐标形式）兼备”的特征，且向量以及向量平行、垂直的充要条件都具有坐标表示形式和几何表示形式，加之向量的数量积不仅是一个实数，而且与向量夹角的余弦值紧密相关，这使得它成为沟通数学各个分支，加强数学知识之间横向联系的桥梁和纽带。从近几年全国及单独命题的省、市高考题中可知，空间向量在立体几何中的应用是高考必考内容。解决立体几何问题时，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中，两向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决垂直、两向量所成角及线段的长度等问题。一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，应该说不仅降低了学习的难度，而且增强了可操作性，为我们提供了崭新的视角，丰富了思维结构。

专题一：向量与平行关系

例1. 已知正方体

的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，

的中点，求证：平面EFG//平面

。

证明：建立如图所示的空间直角坐标系

。

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），

（1，0，1），

（1，1，1），

（0，0，1）。

于是得E（1，

，0），F（

，0，0），G（1，0，

）。

设

为平面EFG的法向量，

（

）为平面

的法向量。

则

，且

取

可得：

=（1，―1，―1），

=（1，―1，―1）。

由

，得平面EFG//平面

。

评注：设

分别为平面α，β的法向量，要证α//β，只需证明：存在一个非零实数

，满足

。

本题也可转化为由线线平行证面面平行，即用向量证明

，从而证明平面EFG//平面

。

 

专题二：向量与垂直关系

例2. 如图所示，在正方体ABCD—

中，O为AC与BD的交点，G为

的中点，求证：平面

平面GBD。

       分析：要证明平面

平面GBD，只要证明平面内的一条直线

垂直于平面GBD中的两条相交直线即可，而从图中观察，证

，

较容易成功。

       证明：设

       则

       而

         

      

      

      

      

       所以

       又BD

OG=O

       所以

平面GBD

       而

平面

       所以平面

⊥平面GBD。

       评注：向量

垂直于向量

的充要条件是

=0。据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与平面垂直及两个平面垂直。在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为零。

 

       专题三：空间向量与空间角

  1. 求异面直线所成的角。

  例3. 在长方体ABCD—

中，已知DA=DC=4，

，求异面直线

与

所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

       解：如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz。

       则A₁（4，0，3），B（4，4，0），

（4，4，3），C（0，4，0）

       于是

=（0，4，－3），

=（－4，0，－3）

       设

与

的夹角为θ，

       则

       所以

与

的夹角大小为

。

       故异面直线

与

所成角的大小为

。

       评注：以向量为工具，利用空间向量的坐标表示以及数量积来求异面直线所成的角，思路自然，灵活简便。

  2. 求直线与平面所成的角。（略）

  3. 求二面角。

  例4. 在直三棱柱ABC—

中，AB=BC，D，E分别为

，

的中点。若

，求二面角

的大小。

       解：如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，其中原点O为AC的中点。

       不妨设A（1，0，0），则B（0，1，0），C（－1，0，0），

（1，0，2）。

       于是

=（―1，―1，0），

=（－1，1，0），

=（0，0，2）。

       所以

，

       所以BC⊥AB，BC⊥AA₁

       又AB

=A，所以BC⊥平面A₁AD

       又E（0，0，1），D（0，1，1）

       所以

（－1，0，－1），

（－1，0，1），

=（0，1，0）。

       易知

，

，所以EC⊥AE，EC⊥ED。

       又

，所以EC⊥面

。

       因为

       所以

和

的夹角为60°。

       故二面角

的大小为60°。

 

       专题四：空间向量与空间距离

  例5. 正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，求点B到平面PEF的距离。

       解：如图所示，分别以CB，CD，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，

       由已知，则有P（0，0，2），E（4，2，0），F（2，4，0），B（4，0，0）。

       所以

=（4，2，－2），

=（－2，2，0）。

       设平面PEF的法向量为

=（1，y，z），

       则由

，可得：

，解得

，所以

=（1，1，3）

       又

=（0，2，0），所以点B到平面PEF的距离为：

。

       评注：求点到平面的距离的一般步骤为：先确定平面α的法向量

，点P是平面α内任意一点，那么点P₀到平面α的距离

，即

的法向量

上的射影长。

 

【模拟试题】

1. 已知空间四边形

，连结

，设

分别是

的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）

；

（2）

；  （3）

。

2. 已知平行四边形ABCD，从平面

外一点

引向量。

。

（1）求证：四点

共面；

（2）平面

平面

。

3. 如图正方体

中，

，求

与

所成角的余弦。

4. 已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。

⑴求以向量

为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量

分别与向量

垂直，且|

|＝

，求向量

的坐标。

5. 已知平行六面体

中，

，

，求

的长。

 

【试题答案】。

1. 解：如图，

（1）

；

（2）

。

；

（3）

。

2. 解：（1）证明：∵四边形

是平行四边形，∴

，

∵

，

∴

共面；

（2）解：∵

，又∵

，

∴

。

所以，平面

平面

。

3.

解：不妨设正方体棱长为

，建立空间直角坐标系

，

则

，

，

，

，

∴

，

，

∴

，

。

 

。

4. 分析：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设

＝（x，y，z），则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴

＝（1，1，1）或

＝（－1，－1，－1）。

5. 解：

 

所以，

。