期末试卷

 

【模拟试题】

一. 选择题

1、

的虚部是（      ）

A.

               B. －3

              C. －3             D. －4

2. 下列命题错误的是（    ）

A. 命题“若m＞0，则方程x²＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x²＋x－m＝0无实数根，则m≤0”。

B. “x ＝1”是“x²－3x＋2＝0”的充分不必要条件。

C. 若

为假命题，则p、q均为假命题。

D. 对于命题p：

则

3.

的值为（　　）

A. 1                      B. 0                      C.

                D.

4. 在各项均不为零的等差数列

中，若

，则

（　　）

A.

                  B. 0                      C. 1                      D. 2

5、过直线L：2x＋y＋4＝0与圆C：x²＋y²＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程为（    ）

  A. （x＋

）²＋（y－

）²＝

           B. （x－

）²＋（y－

）²＝

  C. （x－

）²＋（y＋

）²＝

           D. （x＋

）²＋（y＋

）²＝

6. 如图，程序框图所进行的求和运算是（    ）

A.

                B.

C.

                 D.

7. 已知双曲线与椭圆

共焦点，它们的离心率之和为

，则此双曲线方程是（    ）

A.

                                B.

　

C.

                                D.

8.O是△ABC所在平面内一点，若

，则动点P的轨迹通过三角形的（    ）

A. 外心               B. 内心               C. 重心               D. 垂心

9. 连续两次掷骰子分别得到点数m、n，则向量

与向量

的夹角

的概率是（　　）

A.

                   B.

                    C.

                  D.

10. 给定集合

，定义

．若

则集合

 中的所有元素之和为

A. 15                    B. 14       　           C. 27　　　          D. －14

11. 函数

的图像在y轴上的截距为负实数且它的导函数

的图像是如图所示的一条直线，则

的图像（    ）

A. 一定不经过第一象限      

B. 一定不经过第二象限

C. 一定不经过第一、二象限    

    D. 一定不经过第三象限

12. 设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使

对一切实数x均成立，则称f（x）为“有界泛函”，给出以下函数：

20070405

 

①f（x）＝x²，     ②f（x）＝2^x，     ③

     ④

其中是“有界泛函”的个数为（  ）

A. 0                     B. 1                     C. 2                     D. 3

 

二. 填空题

13.

展开式中x²项的系数是                 。

14. 已知y ＝ f（x）是偶函数，当x ＞ 0时，f（x）＝（x－1）²；若当

时，n≤f（x）≤m恒成立，则m－n的最小值是             。

15. 已知x、y、z满足

且

的最小值为－6，则常数

。

16. 给出以下命题：

①在证明

为增函数时，增函数的定义是大前提，函数

满足增函数的定义是小前提；

②“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆

相切”的充分不必要条件；

③对任意实数α，直线

总与某一定圆相切；

④过定圆M上的定点A作圆的动弦AB，若

（M为圆心），则动点P的轨迹为椭圆。

则正确命题的序号为              （注：把你认为正确的命题的序号都填上）。

 

三. 解答题

17. 已知

，记函数

（1）求函数

的最小正周期及最值；

（2）当

时，方程

有两个不等的实数根，求实数

的范围。

18. 已知

为实数，求使

成立的x的范围。

19. 已知数列

是公差d≠0的等差数列，S_n为其前n项之和。

（1）若a₂，a₃，a₆依次成等比数列，求公比

；

（2）若a₁＝1，证明点

在同一条直线上，并写出此直线方程；

（3）若

，证明点

，都落在以点（

）为圆心，以1为半径的圆内。

20. 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响。已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用

表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积。

    （1）记“函数

为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；

    （2）求

的分布列和数学期望。

21. 已知：定点F（1，0），动点P在y轴上移动，过点P作直线PM交x轴于点M，并延长MP到N，且

（1）求点N的轨迹方程；

（2）直线

与点N的轨迹交于不同的两点A、B，若

，O为坐标原点，且

，求m的取值范围。

22. 设

（e为自然对数的底数）

    （1）求p与q的关系；

    （2）若

在其定义域内为增函数，求p的取值范围；

    （3）证明：

    ①

；②

（n∈N，n≥2）

 

【试题答案】

一、选择题

1、C          2、C              3、A              4、D             5、A

6、C          7、B              8、C              9、D             10、A

11、B         12、C

 

二、填空题

13、－9            14、1            15、0            16、①②③

 

三. 解答题

17、解：（1）

所以，最小正周期为

，

（2）由

得

当

时，

故函数

与

的图像在区间

上有两个不同的交点。

根据函数的图像可得，

18. 解：

   

 

（1）当m＝0时，x＞1

（2）当m≠0时，

①m＜0时，

②0＜m＜1时，

③m＝1时，x∈

④m＞1时，

19. 解：（1）∵

成等比数列，且公差d≠0

∴

  即公比q为3

（2）∵

是等差数列　　∴

则

，

∴点

在直线

因而点P₁，P₂…，P_n各点都在过点（1，1）且斜率为

的直线上。

直线方程为：

（3）当

时，

故：

，

故：

∴

因而点

都落在以点（

）为圆心，以1为半径的圆内。

20. 解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z

依题意得

（1）若函数

为R上的偶函数，则

＝0

当

＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选。

＝0.4×0.5×0.6＋（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）＝0.24

∴事件A的概率为0.24

    （2）依题意知

的的取值为0和2

由（1）所求可知

P（

＝0）＝0.24

P（

＝2）＝1－P（

＝0）＝0.76

则

的分布列为

	0	2
P	0.24	0.76

∴

的数学期望为E

＝0×0.24＋2×0.76＝1.52

21. 解：（1）设点N坐标为

∵M、P、N三点共线

∴

又

∴

，即点P

∴

由

（2）将

，代入抛物线整理得：

即

则由题意：

即

由韦达定理知：

又

即：

得：

，可知：

此时

即

可得：

解得：

所以m的取值范围为

22. 解：（1）由题意

（2）由（1）知：

令h（x）＝px²－2x＋q。要使g（x）在（0，＋∞）为增函数，只需h（x）在（0，＋∞）满足：

h（x）≥0恒成立

即px²－2x＋p≥0

上恒成立

又

所以

（3）证明：①即证：lnx－x＋1≤0  （x＞0），

设

。

当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；

当x∈（1，∞）时，k′（x）<0，∴k（x）为单调递减函数；

∴x＝1为k（x）的极大值点，

∴k（x）≤k（1）＝0.

即lnx－x＋1≤0，∴lnx≤x－1  即

②由①知lnx≤x－1，又x＞0，

∴结论成立