教学内容：
电场考点例析（续）
问题9：会用能量守恒的观点解题。
[例16] 如图14所示，在粗糙水平面上固定一点电荷 Q，在 M点无初速释放一带有恒定电量的小物块，小物块在 Q的电场中运动到 N点静止，则从 M点运动到N点的过程中（ ）
A. 小物块所受电场力逐渐减小
B. 小物块具有的电势能逐渐减小
C. M点的电势一定高于 N点的电势
D. 小物块电势能变化量的大小一定等于克服摩擦力做的功
分析与解：小物块应是先做加速运动后做减速运动，到N点静止，显然电场力做正功，摩擦力做负功，且正功与负功数值相等。由点电荷的场强E=，可得电场力F=qE逐渐减小，A正确。因为电场力做正功，故电势能逐渐减小，B正确。因点电荷Q的电性未知，所以M、N两点的电势高低不能确定，选项C错误。由能量关系知，选项D正确。综上所述，正确答案为ABD。
[例17] 有三根长度皆为L=1.00m的不可伸长的绝缘轻线，其中两根的一端固定在天花板上的O点，另一端分别拴有质量皆为m=1.00×10－2Kg的带电小球A和B，它们的电量分别为－q和+q，q=1.00×10－7C。A、B之间用第三根线连接起来。空间中存在大小为E=1.00×106N/C的匀强电场，场强方向沿水平向右，平衡时A、B球的位置如图15所示。现将O、B之间的线烧断，由于有空气阻力，A、B球最后会达到新的平衡位置。求最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比改变了多少。（不计两带电小球间相互作用的静电力，g=10m/s2）
分析与解：当将O、B之间的线烧断后，由于有空气阻力，A、B球最后会达到新的平衡位置（处于静止状态）。对于A、B整体，受力如图16所示：重力2mg，竖直向下；两个电场力qE，一个水平向左，一个水平向右，相互平衡；所以线OA的拉力应竖直向上，即OA呈现竖直状态。
对于B球，受力如图17所示：重力mg，竖直向下；电场力qE，水平向右，设线BA的拉力与竖直方向成β角，由平衡条件得：；
很容易解得β=
。
由此可知，AB球重新达到平衡的位置如图17所示。与原来位置相比，A球的重力势能减少了：EA=mgL（1－sin600）
B球的重力势能减少了：EB=mgL（1－sin600+cos450）
A球的电势能增加了：WA=qELcos600
B球的电势能减少了：WB=qEL（sin450－sin300）
两种势能总和减少了W=WB－WA+EA+EB=6.8×10－2J
问题11：会解带电粒子在电场中的偏转问题。
[例18] 试证明荷质比不同的正离子，被同一电场加速后进入同一偏转电场，它们离开偏转电场时的速度方向一定相同。
分析与解：如图18所示，设加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转板长L，板距为d，离子离开电场时的速度为图中的V，它与水平分速Vx之间的夹角φ叫做偏向角，可以表示出V的方向，因此，只要证明φ与正离子荷质比无关即可。
对正离子的加速有qU1=
对正离子的偏转，水平方向有Vx=V0，L=V0t
竖直方向有Vy=at=
偏向角φ的正切
解上述各式可得tanφ=，是一个与正离子荷质比q/m无关的量，可见，正离子离开偏转电场时速度方向相同。
[例19] 示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形，它的工作原理可等效成下列情况：如图19（甲）所示，真空室中电极K发出电子（初速不计），经过电压为U1的加速电场后，由小孔S沿水平金属板A、B间的中心线射入板中。板长为L，两板间距离为d，在两板间加上如图19（乙）所示的正弦交变电压，周期为T，前半个周期内B板的电势高于A板的电势，电场全部集中在两板之间，且分布均匀。在每个电子通过极板的极短时间内，电场视作恒定的。在两极板右侧且与极板右端相距D处有一个与两板中心线（图中虚线）垂直的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交。当第一个电子到达坐标原点0时，使屏以速度V沿负x方向运动，每经过一定的时间后，在一个极短时间内它又跳回到初始位置，然后重新做同样的匀速运动。（已知电子的质量为m，带电量为e，不计电子重力）求：
（1）电子进入AB板时的初速度；
（2）要使所有的电子都能打在荧光屏上（荧光屏足够大），图19（乙）中电压的最大值U0需满足什么条件?
（3）要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置?计算这个波形的峰值和长度，在如图19（丙）所示的x－y坐标系中画出这个波形。
分析与解：
（1）电子在加速电场中运动，据动能定理，有eU1=mV V1=
（2）因为每个电子在板A、B间运动时，电场均匀、恒定，故电子在板A、B间做类平抛运动，在两板之外做匀速直线运动打在屏上，在板A、B间沿水平方向的分运动为匀速运动，则有：L=V1t
竖直方向，有y'=at2，且a=
联立解得y'=
只要偏转电压最大时的电子能飞出极板打在屏上，则所有电子都能打在屏上，所以：
（3）要保持一个完整波形，需要隔一个周期T时间回到初始位置，设某个电子运动轨迹如图20所示，有 =
又知y'=，联立得L'=
由相似三角形的性质，得， 则y=
峰值为ym=V，波形长度为x1=VT，波形如图21所示
问题12：会解带电粒子在交变电场中的运动问题。
[例20] 在真空中，速度V=6.4×107m/s电子束水平地射入平行金属板之间，如图22所示，极板长度L=8.0×10－2m，间距d=5.0×10－3m两极板不带电时，电子束将沿两极板的中线通过。若在两极板加50Hz的交流电压u=Usinωt。当所加电压的最大值U超过某一值U0时，将开始出现以下现象：电子束有时能通过两极板；有时间断，不能通过。电子的电量
e=1.6×10－19C，电子质量m=9.1×10－31kg 。 求：（1）U0的大小；（2）U为何值时才能使通过的时间Δt1跟间断的时间Δt2之比为2:1？
分析与解：（1）电子可作为点电荷，电子所受的重力以及电子间的相互作用力可忽略。更重要的是：电子通过两极板的时间t=L/V=1.2×10－9S，而电压变化的周期T=2.0×10－2S，显然t<<T。这表明在电子通过两极板的时间内，电场的变化完全可以忽略不计。因而可以把交变电场理想化为匀强电场。这样电子的运动可以看作类平抛运动。
根据平抛运动的知识可得：L=Vt，
所以
（2）要使通过的时间Δt1跟间断的时间Δt2之比为2:1，则一个周期内有三分之二的时间，电压u的值小于U0=91V，所以有u=Usin600=U0，解得U=105V。
[例21] 如图23所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）。在两板之间有一带负电的质点P。已知若在A、B间加电压U0，则质点P可以静止平衡。
现在A、B间加上如图24所示的随时间t变化的电压U。在t=0 时质点P位于A、B间的中点处且初速为0。已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图24中U改变的各时刻t1、t2、t3及tn的表达式。（质点开始从中点上升到最高点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次。）
分析与解：设质点P的质量为m ，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U0时，有：
当两板间的电压为2U0时，P的加速度向上，其大小为a，
解得a=g
当两板间的电压为0时，P自由下落，加速度为g，方向向下。
带电粒子在电场中运动的V－t图如图25所示。
在t=0时，两板间的电压为2U0，P自A、B间的中点向上作初速为零的匀加速运动，加速度为g。经过t1，P的速度变为V1，此时使电压变为0，让P在重力作用下作匀减速运动。再经过，P正好到达A板且速度为0，故有：
V1=gt1，0=V1－g，
由以上各式得：t1=， 因为t1=
在重力作用下，P由A板开始作匀加速运动，经过t2，速度变为V2，方向向下。这时加上电压使P作匀减速运动，经过，P到达B板且速度为零，故有：
V2=gt2，0=V2－g，
由以上各式得：t2=， 因为t2=t1++t2=
在电场力与重力的合力作用下，P由B板向上作匀加速运动，经过t3，速度变为V3，此时使电压变为零，让P在重力作用下作匀减速运动，经过，P正好到达A板且速度为零，故有：
V3=gt3，0=V3－g，
由以上各式得：t3=， 因为t3=t2++t3=
根据上面分析，因重力作用，P由A板向下作匀加速运动，经过t2再加上电压，经过，P到达B且速度为0。因为
同样分析可得
问题13：会解电场中的导体和电容器有关问题。
[例22] 长为L的导体棒原来不带电，现将一电量为q的点电荷放在距棒左端R处，如图26所示。当达到静电平衡后，棒上感应的电荷在棒内中点O处产生的场强有多大？方向如何？
分析与解：当达到静电平衡后，棒上 感应的电荷在棒内中点O处产生的场强与电量为q的点电荷在中点O处产生的场强E大小相等，方向相反。
所以=E=K，方向向左。
[例23] 在带正电的金属球的正上方，一个枕形导体自由下落，如图27所示，在未碰上金属球之前，在下落过程中（ ）
A. 导体内部场强为零，电子相对导体不运动
B. 导体内部场强为零，电子相对导体向下运动
C. 导体内部场强不为零，电子相对导体向下运动
D. 导体内部场强不为零，电子相对导体向上运动
分析与解：不少学生由于思维定势而错误地选择A选项。其实当枕形导体自由下落时，由于Q在导体中产生的场强大于感应电荷在导体中产生的场强，所以导体内部场强不为零，电子相对导体不断发生定向移动，又由于导体内部场强的方向向上，所以电子相对导体向下运动，即C选项正确。
[例24] 一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地。在两极板间有一正电荷（电量很小）固定在P点，如图28所示，以E表示两极板间的场强，U表示电容器的电压，W表示正电荷在P点的电势能，若保持负极板不动，将正极板移到图中虚线所示的位置，则（ ）
A. U变小，E不变 B. E变大，W变大
C. U变小，W不变 D. U不变，W不变
分析与解：因为电容极板所带电量不变，且正对面积S也不变，据E=4πKQ/（ε·S）可知E也是不变。据U=Ed，因d减小，故U减小。因P点的电势没有发生变化，故W不变。故A、C二选项正确。
问题14：会解电场中的临界问题。
[例25] 如图29所示，一条长为L的绝缘细线上端固定，下端拴一质量为m的带电小球，将它置于水平方向的匀强电场中，场强为E，已知当细线与竖直方向的夹角为α时，小球处于平衡位置A点，问在平衡位置以多大的速度VA释放小球，刚能使之在电场中作竖直平面内的完整圆周运动？
分析与解：小球受重力mg、电场力Eq、线的拉力T作用。简化处理，将复合场（重力场和电场）等效为重力场，小球在等效重力场中所受重力为，由图29有：
，
即
小球在A点处于平衡状态，若小球在A点以速度VA开始绕O点在竖直平面内作圆周运动，若能通过延长线上的B点（等效最高点）就能做完整的圆周运动，在B点根据向心力公式得：为临界条件，所以
又因仅重力、电场力对小球做功，由动能定理得：
由以上二式解得：
问题15：会解电场中的联系实际问题。
电场中的联系实际问题有静电分选、静电除尘、静电复印、电容传感器等，同学们在复习时必须注意弄清它们的原理。
[例26] 滚筒式静电分选器由料斗A、导板B、导体滚筒C、刮板D、料槽E、F和放电针G等部件组成。C与G分别接于直流高压电源的正、负极，并令C接地，如图30所示。电源电压很高，足以使放电针G附近的空气发生电离而产生大量离子。现有导电性能不同的两种物质粉粒a、b的混合物从料斗A下落，沿导体板B到达转动着的滚筒C，粉粒b具有良好绝缘性。
（1）试说明分选器的工作原理。
（2）粉粒a、b经分选后分别掉在哪个槽中？
（3）刮板D的作用是什么？
（4）若让放电针G接地而滚筒C不接地，再在C和G间加上高压，这样连接是否允许？为什么？
分析与解：（1）放电针附近的空气，受高压电场作用而电离，在电场力作用下，大量的电子或负离子被喷附在粉粒a、b上，使粉粒a、b带负电。带负电的物质粉粒a，因其具有良好的导电性，它与带正电的滚筒C接触后，a上的负电被C上的正电中和并带上了正电，带了正电的粉粒a一方面随滚筒C转动，一方面受到C上正电的静电斥力而离开滚筒，最后落入料槽F中。绝缘性能良好的粉粒b，其所带的负电不容易传给滚筒C，在C的静电吸引力作用下，使b附着C的表面并随C转动，最后，b中粉粒较大者在重力作用下掉入料槽E中。
（2）粉粒a落入料槽F中，粉粒b掉入料槽E中。
（3）b中粉粒较小者，因重量轻，不能借助重力落入E槽，它们附着于滚筒表面随C转到D处，由刮板D将其刮入料槽E。
（4）若C不接地而放电针G接地，从工作原理上来讲，这也是允许的。但此时滚筒C相对于地处于高电势，从工业实用角度上看，这是完全不允许的。因为此时在与C相连的机器和地之间有很高的电势差，从而给操作人员安全造成危险。
三. 警示易错试题
典型错误之一：因错误判断带电体的运动情况而出错。
[例27] 质量为m的物块，带正电Q，开始时让它静止在倾角α=600的固定光滑绝缘斜面顶端，整个装置放在水平方向、大小为E=的匀强电场，如图31所示，斜面高为H，释放物体后，物块落地的速度大小为（ ）
A. B. C. 2 D. 2
错解：不少同学在做这道题时，一看到“固定光滑绝缘斜面”就想物体沿光滑斜面下滑不受摩擦力作用，由动能定理得得V=而错选A。
分析纠错：其实“固定光滑绝缘斜面”是干扰因素，只要分析物体的受力就不难发现，物体根本不会沿斜面下滑，而是沿着重力和电场力合力的方向做匀加速直线运动，弄清了这一点，就很容易求得本题正确答案应是C。
典型错误之二：因忽视偏转电场做功的变化而出错。
[例28] 一个动能为EK的带电粒子，垂直于电力线方向飞入平行板电容器，飞出电容器时动能为2EK，如果使这个带电粒子的初速度变为原来的两倍，那么它飞出电容器时的动能变为（ ）
A. 8EK B. 5EK C. 4.25EK D. 4EK
错解：当初动能为EK时，末动能为2EK，所以电场力做功为W=EK；当带电粒子的初速度变为原来的两倍时，初动能为4EK，电场力做功为W=EK；所以它飞出电容器时的动能变为5EK，即B选项正确。
分析纠错：因为偏转距离为，所以带电粒子的初速度变为原来的两倍时，偏转距离变为y/4，所以电场力做功只有W=0.25Ｅk，所以它飞出电容器时的动能变为4.25 EK，即C选项正确。
典型错误之三：因忽视导体表面是等势面而出错。
[例29] 如图32所示，在水平放置的光滑金属板中心正上方有一带正电的点电荷Q，另一表面绝缘，带正电的金属小球（可视为质点，且不影响原电场）自左以初速度V0向右运动，在运动过程中（ ）
A. 小球做先减速后加速运动
B. 小球做匀速直线运动
C. 小球受到电场力的冲量为零
D. 小球受到电场力做的功为零
错解：金属小球自左以初速度V0向右运动时，所受到的+Q的库仑斥力先增大后减小，小球做先减速后加速运动，即A选项正确。
分析纠错：由于金属板处于点电荷Q形成的电场中达到静电平衡后，在水平放置金属板的上表面上电场线是垂直向下，金属板的上表面是一个等势面，所以小球运动时只在竖直方向上受力的作用，故小球做匀速直线运动。根据冲量的概念和力做功的条件，小球受到的电场力冲量不为零而做功为零。故此题正确选项为BD。
典型错误之四：因错误理解直线运动的条件而出错。
[例30] 如图33所示，一粒子质量为m，带电量为+q，以初速度V与水平方向成45o角射向空间匀强电场区域，粒子恰作直线运动。求这匀强电场最小场强的大小，并说明方向。
错解：因粒子恰作直线运动，所以电场力刚好等于mg，即电场强度的最小值为：Emin=
mg/q。
分析纠错：因粒子恰作直线运动，说明粒子所受的合外力与速度平行，但不一定做匀速直线运动，还可能做匀减速运动。受力图如图34所示，显然最小的电场强度应是，方向垂直于V斜向上方。
【模拟试题】
1. 在静电场中，带电量大小为q的带电粒子，只在电场力作用下先后飞过相距为d的a、b两点，动能增加了E，以下说法正确的是（ ）
A. 电场中a点电势一定高于b点 B. 带电粒子电势能一定减少
C. 电场强度一定为E/dq D. a、b两点电势差大小为E/q
2. 在方向向左、大小E=1. 0×102V/m的匀强电场中，有相距d=2. 0×10－2m的a、b两点，现将一带电量q=3. 0×10－10C的检验电荷由a点移至b点，该电荷的电势能变化量可能是（ ）
A. 6. 0×10－14J B. 6. 0×10－12J
C. 6. 0×10－10J D. 6. 0×10－8J
3. 一个一价和一个二价的静止铜离子，经过同一电压加速后，再垂直射入同一匀强偏转电场，然后打在同一屏上，屏与偏转电场方向平行，下列说法正确的是（ ）
A. 二价铜离子打在屏上时的速度大
B. 离子偏转电场后，二价铜离子飞到屏上用的时间短
C. 离子经加速电场过程中，二价铜离子受电场力的冲量大
D. 在离开偏转电场时，两种离子在电场方向上的位移不相等。
4. 图1中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26eV和5eV。当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8eV时，它的动能就为（ ）
A. 8eV B. 15eV C. 20eV D. 34eV
5. 在光滑水平面上的O点系一长为L的绝缘细线，线的另一端系一质量为m、带电量为q的小球。当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态。如图2所示。现给小球一垂直于细线的初速度V0，使小球在水平面上开始运动。若V0很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为 。
6. 如图3所示，质量为m，带电量+q的小球置于半圆形光滑轨道内，整个装置处于场强为E的竖直向下匀强电场中，小球从水平直径位置上的a点由静止释放，小球经过最低点b时对轨道的压力大小。
7. 一质量为m，带电量为+q的小球，用长为L的绝缘线悬挂在水平向右的匀强电场中，开始时把悬线拉到水平，小球在位置A点。然后将小球由静止释放，球沿弧线下摆到α=600的B点（如图4所示），此时小球速度恰好为零，试求（1）匀强电场场强。（2）小球在运动中的最大速度。
【试题答案】
1. BD 2 .ABC 3. ABC 4. C 5. 6. 3（mg+qE）
7.（1） （2）
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