教学内容:
电场考点例析(续)
问题9:会用能量守恒的观点解题。
[例16] 如图14所示,在粗糙水平面上固定一点电荷 Q,在 M点无初速释放一带有恒定电量的小物块,小物块在 Q的电场中运动到 N点静止,则从 M点运动到N点的过程中( )
A. 小物块所受电场力逐渐减小
B. 小物块具有的电势能逐渐减小
C. M点的电势一定高于 N点的电势
D. 小物块电势能变化量的大小一定等于克服摩擦力做的功
分析与解:小物块应是先做加速运动后做减速运动,到N点静止,显然电场力做正功,摩擦力做负功,且正功与负功数值相等。由点电荷的场强E=
[例17] 有三根长度皆为L=1.00m的不可伸长的绝缘轻线,其中两根的一端固定在天花板上的O点,另一端分别拴有质量皆为m=1.00×10-2Kg的带电小球A和B,它们的电量分别为-q和+q,q=1.00×10-7C。A、B之间用第三根线连接起来。空间中存在大小为E=1.00×106N/C的匀强电场,场强方向沿水平向右,平衡时A、B球的位置如图15所示。现将O、B之间的线烧断,由于有空气阻力,A、B球最后会达到新的平衡位置。求最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比改变了多少。(不计两带电小球间相互作用的静电力,g=10m/s2)
分析与解:当将O、B之间的线烧断后,由于有空气阻力,A、B球最后会达到新的平衡位置(处于静止状态)。对于A、B整体,受力如图16所示:重力2mg,竖直向下;两个电场力qE,一个水平向左,一个水平向右,相互平衡;所以线OA的拉力应竖直向上,即OA呈现竖直状态。
对于B球,受力如图17所示:重力mg,竖直向下;电场力qE,水平向右,设线BA的拉力与竖直方向成β角,由平衡条件得:
由此可知,AB球重新达到平衡的位置如图17所示。与原来位置相比,A球的重力势能减少了:EA=mgL(1-sin600)
B球的重力势能减少了:EB=mgL(1-sin600+cos450)
A球的电势能增加了:WA=qELcos600
B球的电势能减少了:WB=qEL(sin450-sin300)
两种势能总和减少了W=WB-WA+EA+EB=6.8×10-2J
问题11:会解带电粒子在电场中的偏转问题。
[例18] 试证明荷质比不同的正离子,被同一电场加速后进入同一偏转电场,它们离开偏转电场时的速度方向一定相同。
分析与解:如图18所示,设加速电压为U1,偏转电压为U2,偏转板长L,板距为d,离子离开电场时的速度为图中的V,它与水平分速Vx之间的夹角φ叫做偏向角,可以表示出V的方向,因此,只要证明φ与正离子荷质比无关即可。
对正离子的加速有qU1=
对正离子的偏转,水平方向有Vx=V0,L=V0t
竖直方向有Vy=at=
偏向角φ的正切
解上述各式可得tanφ=
[例19] 示波器是一种多功能电学仪器,可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形,它的工作原理可等效成下列情况:如图19(甲)所示,真空室中电极K发出电子(初速不计),经过电压为U1的加速电场后,由小孔S沿水平金属板A、B间的中心线射入板中。板长为L,两板间距离为d,在两板间加上如图19(乙)所示的正弦交变电压,周期为T,前半个周期内B板的电势高于A板的电势,电场全部集中在两板之间,且分布均匀。在每个电子通过极板的极短时间内,电场视作恒定的。在两极板右侧且与极板右端相距D处有一个与两板中心线(图中虚线)垂直的荧光屏,中心线正好与屏上坐标原点相交。当第一个电子到达坐标原点0时,使屏以速度V沿负x方向运动,每经过一定的时间后,在一个极短时间内它又跳回到初始位置,然后重新做同样的匀速运动。(已知电子的质量为m,带电量为e,不计电子重力)求:
(1)电子进入AB板时的初速度;
(2)要使所有的电子都能打在荧光屏上(荧光屏足够大),图19(乙)中电压的最大值U0需满足什么条件?
(3)要使荧光屏上始终显示一个完整的波形,荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置?计算这个波形的峰值和长度,在如图19(丙)所示的x-y坐标系中画出这个波形。
分析与解:
(1)电子在加速电场中运动,据动能定理,有eU1=
(2)因为每个电子在板A、B间运动时,电场均匀、恒定,故电子在板A、B间做类平抛运动,在两板之外做匀速直线运动打在屏上,在板A、B间沿水平方向的分运动为匀速运动,则有:L=V1t
竖直方向,有y'=
联立解得y'=
只要偏转电压最大时的电子能飞出极板打在屏上,则所有电子都能打在屏上,所以:
(3)要保持一个完整波形,需要隔一个周期T时间回到初始位置,设某个电子运动轨迹如图20所示,有
又知y'=
由相似三角形的性质,得
峰值为ym=
问题12:会解带电粒子在交变电场中的运动问题。
[例20] 在真空中,速度V=6.4×107m/s电子束水平地射入平行金属板之间,如图22所示,极板长度L=8.0×10-2m,间距d=5.0×10-3m两极板不带电时,电子束将沿两极板的中线通过。若在两极板加50Hz的交流电压u=Usinωt。当所加电压的最大值U超过某一值U0时,将开始出现以下现象:电子束有时能通过两极板;有时间断,不能通过。电子的电量
e=1.6×10-19C,电子质量m=9.1×10-31kg 。 求:(1)U0的大小;(2)U为何值时才能使通过的时间Δt1跟间断的时间Δt2之比为2:1?
分析与解:(1)电子可作为点电荷,电子所受的重力以及电子间的相互作用力可忽略。更重要的是:电子通过两极板的时间t=L/V=1.2×10-9S,而电压变化的周期T=2.0×10-2S,显然t<<T。这表明在电子通过两极板的时间内,电场的变化完全可以忽略不计。因而可以把交变电场理想化为匀强电场。这样电子的运动可以看作类平抛运动。
根据平抛运动的知识可得:L=Vt,
所以
(2)要使通过的时间Δt1跟间断的时间Δt2之比为2:1,则一个周期内有三分之二的时间,电压u的值小于U0=91V,所以有u=Usin600=U0,解得U=105V。
[例21] 如图23所示,A、B为水平放置的平行金属板,板间距离为d(d远小于板的长和宽)。在两板之间有一带负电的质点P。已知若在A、B间加电压U0,则质点P可以静止平衡。
现在A、B间加上如图24所示的随时间t变化的电压U。在t=0 时质点P位于A、B间的中点处且初速为0。已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰,求图24中U改变的各时刻t1、t2、t3及tn的表达式。(质点开始从中点上升到最高点或从最低点到最高点的过程中,电压只改变一次。)
分析与解:设质点P的质量为m ,电量大小为q,根据题意,当A、B间的电压为U0时,有:
当两板间的电压为2U0时,P的加速度向上,其大小为a,
当两板间的电压为0时,P自由下落,加速度为g,方向向下。
带电粒子在电场中运动的V-t图如图25所示。
在t=0时,两板间的电压为2U0,P自A、B间的中点向上作初速为零的匀加速运动,加速度为g。经过t1,P的速度变为V1,此时使电压变为0,让P在重力作用下作匀减速运动。再经过
V1=gt1,0=V1-g
由以上各式得:t1=
在重力作用下,P由A板开始作匀加速运动,经过t2,速度变为V2,方向向下。这时加上电压使P作匀减速运动,经过
V2=gt2,0=V2-g
由以上各式得:t2=
在电场力与重力的合力作用下,P由B板向上作匀加速运动,经过t3,速度变为V3,此时使电压变为零,让P在重力作用下作匀减速运动,经过
V3=gt3,0=V3-g
由以上各式得:t3=
根据上面分析,因重力作用,P由A板向下作匀加速运动,经过t2再加上电压,经过
同样分析可得
问题13:会解电场中的导体和电容器有关问题。
[例22] 长为L的导体棒原来不带电,现将一电量为q的点电荷放在距棒左端R处,如图26所示。当达到静电平衡后,棒上感应的电荷在棒内中点O处产生的场强有多大?方向如何?
分析与解:当达到静电平衡后,棒上 感应的电荷在棒内中点O处产生的场强
所以
[例23] 在带正电的金属球的正上方,一个枕形导体自由下落,如图27所示,在未碰上金属球之前,在下落过程中( )
A. 导体内部场强为零,电子相对导体不运动
B. 导体内部场强为零,电子相对导体向下运动
C. 导体内部场强不为零,电子相对导体向下运动
D. 导体内部场强不为零,电子相对导体向上运动
分析与解:不少学生由于思维定势而错误地选择A选项。其实当枕形导体自由下落时,由于Q在导体中产生的场强大于感应电荷在导体中产生的场强,所以导体内部场强不为零,电子相对导体不断发生定向移动,又由于导体内部场强的方向向上,所以电子相对导体向下运动,即C选项正确。
[例24] 一平行板电容器充电后与电源断开,负极板接地。在两极板间有一正电荷(电量很小)固定在P点,如图28所示,以E表示两极板间的场强,U表示电容器的电压,W表示正电荷在P点的电势能,若保持负极板不动,将正极板移到图中虚线所示的位置,则( )
A. U变小,E不变 B. E变大,W变大
C. U变小,W不变 D. U不变,W不变
分析与解:因为电容极板所带电量不变,且正对面积S也不变,据E=4πKQ/(ε·S)可知E也是不变。据U=Ed,因d减小,故U减小。因P点的电势没有发生变化,故W不变。故A、C二选项正确。
问题14:会解电场中的临界问题。
[例25] 如图29所示,一条长为L的绝缘细线上端固定,下端拴一质量为m的带电小球,将它置于水平方向的匀强电场中,场强为E,已知当细线与竖直方向的夹角为α时,小球处于平衡位置A点,问在平衡位置以多大的速度VA释放小球,刚能使之在电场中作竖直平面内的完整圆周运动?
分析与解:小球受重力mg、电场力Eq、线的拉力T作用。简化处理,将复合场(重力场和电场)等效为重力场,小球在等效重力场中所受重力为
即
小球在A点处于平衡状态,若小球在A点以速度VA开始绕O点在竖直平面内作圆周运动,若能通过延长线上的B点(等效最高点)就能做完整的圆周运动,在B点根据向心力公式得:
又因仅重力、电场力对小球做功,由动能定理得:
由以上二式解得:
问题15:会解电场中的联系实际问题。
电场中的联系实际问题有静电分选、静电除尘、静电复印、电容传感器等,同学们在复习时必须注意弄清它们的原理。
[例26] 滚筒式静电分选器由料斗A、导板B、导体滚筒C、刮板D、料槽E、F和放电针G等部件组成。C与G分别接于直流高压电源的正、负极,并令C接地,如图30所示。电源电压很高,足以使放电针G附近的空气发生电离而产生大量离子。现有导电性能不同的两种物质粉粒a、b的混合物从料斗A下落,沿导体板B到达转动着的滚筒C,粉粒b具有良好绝缘性。
(1)试说明分选器的工作原理。
(2)粉粒a、b经分选后分别掉在哪个槽中?
(3)刮板D的作用是什么?
(4)若让放电针G接地而滚筒C不接地,再在C和G间加上高压,这样连接是否允许?为什么?
分析与解:(1)放电针附近的空气,受高压电场作用而电离,在电场力作用下,大量的电子或负离子被喷附在粉粒a、b上,使粉粒a、b带负电。带负电的物质粉粒a,因其具有良好的导电性,它与带正电的滚筒C接触后,a上的负电被C上的正电中和并带上了正电,带了正电的粉粒a一方面随滚筒C转动,一方面受到C上正电的静电斥力而离开滚筒,最后落入料槽F中。绝缘性能良好的粉粒b,其所带的负电不容易传给滚筒C,在C的静电吸引力作用下,使b附着C的表面并随C转动,最后,b中粉粒较大者在重力作用下掉入料槽E中。
(2)粉粒a落入料槽F中,粉粒b掉入料槽E中。
(3)b中粉粒较小者,因重量轻,不能借助重力落入E槽,它们附着于滚筒表面随C转到D处,由刮板D将其刮入料槽E。
(4)若C不接地而放电针G接地,从工作原理上来讲,这也是允许的。但此时滚筒C相对于地处于高电势,从工业实用角度上看,这是完全不允许的。因为此时在与C相连的机器和地之间有很高的电势差,从而给操作人员安全造成危险。
三. 警示易错试题
典型错误之一:因错误判断带电体的运动情况而出错。
[例27] 质量为m的物块,带正电Q,开始时让它静止在倾角α=600的固定光滑绝缘斜面顶端,整个装置放在水平方向、大小为E=
A.
错解:不少同学在做这道题时,一看到“固定光滑绝缘斜面”就想物体沿光滑斜面下滑不受摩擦力作用,由动能定理得
分析纠错:其实“固定光滑绝缘斜面”是干扰因素,只要分析物体的受力就不难发现,物体根本不会沿斜面下滑,而是沿着重力和电场力合力的方向做匀加速直线运动,弄清了这一点,就很容易求得本题正确答案应是C。
典型错误之二:因忽视偏转电场做功的变化而出错。
[例28] 一个动能为EK的带电粒子,垂直于电力线方向飞入平行板电容器,飞出电容器时动能为2EK,如果使这个带电粒子的初速度变为原来的两倍,那么它飞出电容器时的动能变为( )
A. 8EK B. 5EK C. 4.25EK D. 4EK
错解:当初动能为EK时,末动能为2EK,所以电场力做功为W=EK;当带电粒子的初速度变为原来的两倍时,初动能为4EK,电场力做功为W=EK;所以它飞出电容器时的动能变为5EK,即B选项正确。
分析纠错:因为偏转距离为
典型错误之三:因忽视导体表面是等势面而出错。
[例29] 如图32所示,在水平放置的光滑金属板中心正上方有一带正电的点电荷Q,另一表面绝缘,带正电的金属小球(可视为质点,且不影响原电场)自左以初速度V0向右运动,在运动过程中( )
A. 小球做先减速后加速运动
B. 小球做匀速直线运动
C. 小球受到电场力的冲量为零
D. 小球受到电场力做的功为零
错解:金属小球自左以初速度V0向右运动时,所受到的+Q的库仑斥力先增大后减小,小球做先减速后加速运动,即A选项正确。
分析纠错:由于金属板处于点电荷Q形成的电场中达到静电平衡后,在水平放置金属板的上表面上电场线是垂直向下,金属板的上表面是一个等势面,所以小球运动时只在竖直方向上受力的作用,故小球做匀速直线运动。根据冲量的概念和力做功的条件,小球受到的电场力冲量不为零而做功为零。故此题正确选项为BD。
典型错误之四:因错误理解直线运动的条件而出错。
[例30] 如图33所示,一粒子质量为m,带电量为+q,以初速度V与水平方向成45o角射向空间匀强电场区域,粒子恰作直线运动。求这匀强电场最小场强的大小,并说明方向。
错解:因粒子恰作直线运动,所以电场力刚好等于mg,即电场强度的最小值为:Emin=
mg/q。
分析纠错:因粒子恰作直线运动,说明粒子所受的合外力与速度平行,但不一定做匀速直线运动,还可能做匀减速运动。受力图如图34所示,显然最小的电场强度应是
【模拟试题】
1. 在静电场中,带电量大小为q的带电粒子,只在电场力作用下先后飞过相距为d的a、b两点,动能增加了
A. 电场中a点电势一定高于b点 B. 带电粒子电势能一定减少
C. 电场强度一定为
2. 在方向向左、大小E=1. 0×102V/m的匀强电场中,有相距d=2. 0×10-2m的a、b两点,现将一带电量q=3. 0×10-10C的检验电荷由a点移至b点,该电荷的电势能变化量可能是( )
A. 6. 0×10-14J B. 6. 0×10-12J
C. 6. 0×10-10J D. 6. 0×10-8J
3. 一个一价和一个二价的静止铜离子,经过同一电压加速后,再垂直射入同一匀强偏转电场,然后打在同一屏上,屏与偏转电场方向平行,下列说法正确的是( )
A. 二价铜离子打在屏上时的速度大
B. 离子偏转电场后,二价铜离子飞到屏上用的时间短
C. 离子经加速电场过程中,二价铜离子受电场力的冲量大
D. 在离开偏转电场时,两种离子在电场方向上的位移不相等。
4. 图1中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4,相邻的等势面之间的电势差相等,其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动,经过a、b点时的动能分别为26eV和5eV。当这一点电荷运动到某一位置,其电势能变为-8eV时,它的动能就为( )
A. 8eV B. 15eV C. 20eV D. 34eV
5. 在光滑水平面上的O点系一长为L的绝缘细线,线的另一端系一质量为m、带电量为q的小球。当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后,小球处于平衡状态。如图2所示。现给小球一垂直于细线的初速度V0,使小球在水平面上开始运动。若V0很小,则小球第一次回到平衡位置所需时间为 。
6. 如图3所示,质量为m,带电量+q的小球置于半圆形光滑轨道内,整个装置处于场强为E的竖直向下匀强电场中,小球从水平直径位置上的a点由静止释放,小球经过最低点b时对轨道的压力大小。
7. 一质量为m,带电量为+q的小球,用长为L的绝缘线悬挂在水平向右的匀强电场中,开始时把悬线拉到水平,小球在位置A点。然后将小球由静止释放,球沿弧线下摆到α=600的B点(如图4所示),此时小球速度恰好为零,试求(1)匀强电场场强。(2)小球在运动中的最大速度。
【试题答案】
1. BD 2 .ABC 3. ABC 4. C 5.
7.(1)
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