一类电学问题极值的两种解法

江苏省泰州中学　高峰

　　一、基本题型

 

　　例1　如图1所示，一电源的电动势为E，内阻为r，当变阻箱的阻值调至多大时，其消耗的功率最大？最大值是多少？

 

 

 

　　【分析】因变阻箱的阻值在变化，通过它的电流在变化，其两端的电压也在变化。这是一类求解阻值在变化的电阻消耗的功率极值的典型问题。

 

　　当R↑时，I↓，由P=I²R知当R调到某一阻值时，其消耗的功率应出现最大值。由上述分析可知，I随R在变化，因此可以将P表示成R的函数，这样就能利用数学方法求功率的极值。

 

　　【方法一】配方法：

 

　　

=

=

=

=

=

 

　　则当R－r=0时，即R=r时，P_R有最大值

 

　　

=

 

　　【方法二】基本不等式法：

 

　　

=

=

=

=

≤

=

 

　　当且仅当

=

，即R=r时取等号

 

　　二、引申题型

 

　　例2　如图2所示，一电源电动势为E，内阻为r，定值电阻阻值为R₀，当变阻箱的阻值调至多大时，其消耗的功率最大？最大值是多少？

 

 

　　【解析】R₀是定值电阻，可将R₀等效为电源的内电阻，即电源的内阻为（R₀+r），则根据基本题型的解法，当R=R₀+r时，其消耗的功率最大，最大值为E²/4（R₀+r）。

 

　　三、例题解析

 

　　例3　如图3所示，R₁=2Ω，R₂=R₃=6Ω，滑动变阻器R₄的总阻值为6Ω，电源电动势E=6V，内阻r=1Ω，当滑动变阻器的滑动触头P置于何处时，R₄消耗的功率最大，最大值是多少？

 

 

　　【解析】首先要对整个电路有明确的认识。由于R₃和R₄的触头P上部的电阻等势，这一部分电路被短路，电路是这样连接的：R₂和R₄的触头P下部的电阻并联后和R₁串联，R₄只有触头P下部的电阻消耗电能。

 

　　

=

 

　　代入数据，化简得：

 

　　

=

=

=

 

　　当R₄=2Ω时，P_max=2W

 

　　或解：

=

≤

=2W

 

　　当且仅当

=

，即R₄=2Ω时取等号。

 

　　例4　如图4所示，电源电动势为E，内电阻为r，A、B两个定值电阻的阻值分别为R₁和R₂，今调节可变电阻C，使其获得不同的电功率。试确定使可变电阻C出现最大功率时C的阻值R₃，并导出其最大功率的表达式。（北京市普通高中毕业会考试题）

 

 

　　【解析】

C所消耗的功率的表达式为

 

　　

 

　　上式中的R₃是变量，但本题用配方法显然太繁琐，且计算过程中容易出错，这时用基本不等式求解就很方便。

 

　　

≤

 

　　

 

　　当且仅当

时，即

时取得最大值。

 

　　四、总结

 

　　对于这类阻值变化的电阻消耗的最大功率的题型，先写出功率的表达式，即关于可变阻值的函数，在分别应用配方法或基本不等式求解即可。