一类不等式的证明

广东省吴川市第四中学　罗　亮

在不等式的证明问题中，发现一类证法原理一样的不等式，现呈现如下：

 

例1．若

，求证：

．     　 ①

 

证：由

得，

，同理，

，

。所以，

 

，

 

故，

成立。

 

例2．若

，求证：

．   　②

 

证：由

得，

，同理，

，

 

，所以，

，故，

 

成立．

 

比较不等式①、②发现其形式与证法都是类似的，不等式①、②的形式左边、右边都是几个的和，左边是分式的形式，且分子的次数比分母高一次；然后是证法都是通过添加项多次利用基本不等式，得到最终想要的结果。由这样的规律，可把上述不等式推广到更一般的形式有：

 

推广1．若

，

，

且

，则，

 

．

 

证：由

得，

，

 

同理，

，

,

 

所以，

 

 

，

 

所以，

成立。证完．

 

推广2．若

，

且

，则，

 

．

 

证：由

得，

 

，

 

同理，

，

，

 

所以，

 

，所以，

 

成立。证完。

 

以上述形式类似，证法一样的题目还有很多，下面再举一个例子：

 

例3．已知

，求证：

。

 

证：由

得，

，

 

同理，

，

。

 

所以，

，

 

故，

成立。

 

从上述的例子，我们可以看到，在运用基本不等式证明不等式时，有这样一类不等式，就是把不等式左边的所有项通过添加项运用基本不等式，再用不等式加法性质把所有式子相加，而得到最终要证明的不等式。这类不等式的证明在添加项的时候，添加什么样的项需要一定的技巧。因此，我们在平时需多进行练习，去熟悉基本不等式，并且能熟练的运用基本不等式。

 

作者简介：罗亮(1983-)，男，广东吴川，中学二级，本科。已在中数期刊发表论文十余篇。