§6.3平面与平面之间的位置关系 一、基础知识导学 1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）. 2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理

§6.3平面与平面之间的位置关系

 §6.3平面与平面之间的位置关系

 

一、基础知识导学

 

1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.

2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.

3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）.

4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).

 

二、疑难知识导析

 

1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.

2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.

3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.

4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.

5．注意二面角的范围是

，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式

,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果

”；方法三：公式

等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（    ）.

A.α+β<90⁰    B.α+β≤90⁰   C.α+β>90⁰  D.α+β≥90⁰

错解:A.

错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.

正解：B.

[例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（   ）.

A．90°      　B．60°  　  　C．50°      　D．45°

错解:A.

正解：C

[例3]已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成

角的截面面积是_____.

错解：

.用面积射影公式求解：S_底=

S截=

.

错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.

正解：

.

 [例4]点

是边长为4的正方形

的中心，点

，

分别是

，

的中点．沿对角线

把正方形

折成直二面角D－AC－B．

（1）求

的大小；

（2）求二面角

的大小．

错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.

正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则

，

．

因为二面角D－AC－B为直二面角，

 

又在

中，

，

．

． 

（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．

∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．

∴

就是二面角

的平面角．

在Rt

EGM中，

，

，

，

∴

．∴

．

所以，二面角

的大小为

 [例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线

和α、β、γ分别交于A、B、C，AC＝12，则AB＝      ，BC＝        .

解:作

′⊥α，

∵　α∥β∥γ，∴　

′与β、γ也垂直，

′与α、β、γ分别交于A₁、B₁、C₁.

因此，A₁B₁是α与β平面间的距离，B₁C₁是β与γ平
面间的距离，A₁C₁是α与γ之间的距离.　　

∴　A₁B₁＝5，B₁C₁＝3，A₁C₁＝8，又知AC＝12

AB=

，

，BC=

.

答：AB=

，BC＝

.

[例6] 如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.

解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE

又∵α∥β，∴　AF∥BE

同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补

由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE=

　

由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD=

　

又∵△ACF的面积为72，即

＝72

S

=

=

,

答：△BDE的面积为84平方单位.

 [例7]如图，B为

ACD所在平面外一点，M、N、G分别为

ABC、

ABD、

BCD的重心.

（1）求证：平面MNG∥平面ACD

（2）求S

：S

解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H

∵　M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，

则有：

连结PF、FH、PH有MN∥PF

又PF

平面ACD

∴　MN∥平面ACD

同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M

∴　平面MNG∥平面ACD.

（2）由（1）可知：

∴MG=

，又PH=

∴MG=

　 ，

同理：NG=

，

∴　△MNG∽△ACD，其相似比为1：3

∴S

：S

=　1：9

 

[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.

(1)求证：EFGH是矩形.

(2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.

(1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF

同理HG∥CD.∴EF∥HG

同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形

由CD∥EF，HE∥AB

∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角，

又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.

(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n

∴

由HE∥AB

∴

又∵四边形EFGH为矩形

∴S_矩形EFGH＝HE·EF＝

·b·

a＝

ab

∵m＋n≥2

，∴（m＋n）²≥４mn

∴

≤

，当且仅当m＝n时取等号，即E为BD的中点时,

S_矩形EFGH=

ab≤

ab，

    矩形EFGH的面积最大为

ab.

点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.

 

四、典型习题导练

 

1. 山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米．

2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．

 

3. 在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．

4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.

  求证：平面ABC⊥平面BSC.

5. 已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.

一、基础知识导学

 

1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.

2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.

3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）.

4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).

 

二、疑难知识导析

 

1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.

2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.

3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.

4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.

5．注意二面角的范围是

，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式

,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果

”；方法三：公式

等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（    ）.

A.α+β<90⁰    B.α+β≤90⁰   C.α+β>90⁰  D.α+β≥90⁰

错解:A.

错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.

正解：B.

[例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（   ）.

A．90°      　B．60°  　  　C．50°      　D．45°

错解:A.

正解：C

[例3]已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成

角的截面面积是_____.

错解：

.用面积射影公式求解：S_底=

S截=

.

错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.

正解：

.

 [例4]点

是边长为4的正方形

的中心，点

，

分别是

，

的中点．沿对角线

把正方形

折成直二面角D－AC－B．

（1）求

的大小；

（2）求二面角

的大小．

错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.

正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则

，

．

因为二面角D－AC－B为直二面角，

 

又在

中，

，

．

． 

（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．

∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．

∴

就是二面角

的平面角．

在Rt

EGM中，

，

，

，

∴

．∴

．

所以，二面角

的大小为

 [例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线

和α、β、γ分别交于A、B、C，AC＝12，则AB＝      ，BC＝        .

解:作

′⊥α，

∵　α∥β∥γ，∴　

′与β、γ也垂直，

′与α、β、γ分别交于A₁、B₁、C₁.

因此，A₁B₁是α与β平面间的距离，B₁C₁是β与γ平
面间的距离，A₁C₁是α与γ之间的距离.　　

∴　A₁B₁＝5，B₁C₁＝3，A₁C₁＝8，又知AC＝12

AB=

，

，BC=

.

答：AB=

，BC＝

.

[例6] 如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.

解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE

又∵α∥β，∴　AF∥BE

同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补

由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE=

　

由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD=

　

又∵△ACF的面积为72，即

＝72

S

=

=

,

答：△BDE的面积为84平方单位.

 [例7]如图，B为

ACD所在平面外一点，M、N、G分别为

ABC、

ABD、

BCD的重心.

（1）求证：平面MNG∥平面ACD

（2）求S

：S

解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H

∵　M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，

则有：

连结PF、FH、PH有MN∥PF

又PF

平面ACD

∴　MN∥平面ACD

同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M

∴　平面MNG∥平面ACD.

（2）由（1）可知：

∴MG=

，又PH=

∴MG=

　 ，

同理：NG=

，

∴　△MNG∽△ACD，其相似比为1：3

∴S

：S

=　1：9

 

[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.

(1)求证：EFGH是矩形.

(2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.

(1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF

同理HG∥CD.∴EF∥HG

同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形

由CD∥EF，HE∥AB

∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角，

又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.

(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n

∴

由HE∥AB

∴

又∵四边形EFGH为矩形

∴S_矩形EFGH＝HE·EF＝

·b·

a＝

ab

∵m＋n≥2

，∴（m＋n）²≥４mn

∴

≤

，当且仅当m＝n时取等号，即E为BD的中点时,

S_矩形EFGH=

ab≤

ab，

    矩形EFGH的面积最大为

ab.

点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.

 

四、典型习题导练

 

1. 山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米．

2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．

 

3. 在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．

4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.

  求证：平面ABC⊥平面BSC.

5. 已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.