§9.3 二项式定理
一、知识导学
1.二项式定理：
上列公式所表示的定理叫做二项式定理.
右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有ｎ＋1项.
其中各项的系数叫做二项式系数.
式中的叫做二项展开式的通项，用表示，
即＝.
2.二项式系数的性质：
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.
（2）增减性与最大值. 二项式系数，当ｒ＜时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.
（3）各二项式系数的和.
的展开式的各个二项式系数的和等于.
二、疑难知识导析
1．二项式定理是代数公式
和
的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解.
2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.通项公式＝在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项.
3．二项式定理的特殊表示形式
（1）.
这时通项是＝.
（2）.
这时通项是＝.
（3）.
即各二项式系数的和为.
4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即
三、经典例题导讲
[例1]已知，
求的值.
错解：由二项展开式的系数的性质可知：的展开式的各个二项式系数的和等于，显然，就是展开式中的，因此的值为－1.
错因：上述解答忽略了 是项的系数，而不是二项式系数.
正解：由二项展开式的结构特征，是项的系数，而不是二项式系数.观察式子特征，如果＝1，则等式右边为，出现所求式子的形式，而就是展开式中的，因此，即
1＝1＋，所以，＝0
评注 这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值.
[例2]在多项式的展开式中，含项的系数为 .
错解：原式＝＝
∴项的系数为0.
错因：忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供.
正解：原式＝＝
∴当ｎ≠6时，项的系数为0.
当ｎ＝6时，项的系数为1
说明：本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少这一项.
[例3] 的末尾连续零的个数是 ( )
A．7 B．5 C．3 D．2
解：
上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0.所以的末尾连续零的个数是3. 故选C.
[例4] 已知的展开式前三项中的的系数成等差数列.
（1）求展开式中所有的的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项.
解：（1）展开式前三项的系数分别为
.
由题设可知：
解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.
当ｎ＝8时，＝.
据题意，4－必为整数，从而可知必为4的倍数，
而0≤≤8，∴＝0,4，8.
故的有理项为：，，.
（2）设第＋1项的系数最大，显然＞0，
故有≥1且≤1.
∵＝，
由≥1，得≤3.
∵＝，
由≤1，得≥2.
∴＝2或＝3，所求项分别为和.
评注：1.把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质.
2.运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）.
3.注意区分展开式“第＋1项的二项式系数”与“第＋1项的系数”.
[例5]已知的展开式中含项的系数为24，求展开式中含项的系数的最小值.
解：解法一 由中含项的系数为24，可得
.从而，.
设中含项的系数为ｔ，则
ｔ＝.
把代入上式，得
ｔ＝.
∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6.
解法二 由已知，
设中含项的系数为ｔ，则
ｔ＝≥2＝2（72－12）＝120.
当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120.
∴展开式中含项的系数的最小值为120.
评注：构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛.
四、典型习题导练
1．化简：
2. 设，则
的值为
3. （1+x）(2+x)(3+x)…(20+x)的展开式中x19的系数是 .
4. 式子的展开式中的常数项是 （ ）
A、－15 B、20 C、－20 D、15
5．已知二项式中，＞0，ｂ＞0,2ｍ＋ｎ＝0但ｍｎ≠0，若展开式中的最大系数项是常数项，求的取值范围.
6．用二项式定理证明：能被整除 （ｎ∈，ｎ≥2）.
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