2010年高考全国卷Ⅰ第21题如下:
已知抛物线的焦点为,过点直线与相交于两点,点关于轴的对称点为.
(1) 证明:点在在直线上;
(2) 设,求的内切圆的方程.
注意到点就是抛物线的准线与对称轴的交点即为准点,故点和点恰为抛物线的一对“伴侣点”,一般地对于圆锥曲线的焦点轴上的任意一对“伴侣点”有如下性质.
性质1 已知点是抛物线的一对“伴侣点”,过点作与坐标轴不平行的直线交抛物线于两点,过点作轴的对称点,则直线必过点.
图1 图2
证明 如图1图2,设,因为两点关于轴对称,所以点的坐标为.又直线过点,故可设直线的方程为,将其代入抛物线方程得.因是此方程的两个根,由根与系数关系得.又点在直线上,所以, 所以.
又
,
所以,故三点共线从而直线必过点.
性质2 已知是椭圆的一对“伴侣点”,过点作与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点,过点作轴的对称点,则直线必过点.
图3 图4
证明 如图3图4,设,因为两点关于轴对称,所以点的坐标为.又直线过点,故可设直线的方程为,将其代入椭圆方程化简得.因是此方程的两个根,由根与系数关系得,.又点在直线上,所以.
所以,
又
,
所以,故三点共线从而直线必过点.
同理可证明如下结论:
性质3 已知是双曲线的一对“伴侣点”,过点作与坐标轴不平行的直线与双曲线相交于两点,过点作轴的对称点,则直线必过点.
综合上述3个结论,可得圆锥曲线的一个统一的性质如下:
性质4 已知是圆锥曲线的一对“伴侣点”,过点作与对称轴不平行的直线与曲线相交于两点,过点作焦点轴的对称点,则直线必过点.
由此可以看出,2010年高考全国卷Ⅰ第21题就是圆锥曲线这个共性的一个特例.命题人将其在解析几何中的某一研究成果或他人的研究成果具体化,就可命制出背景新颖内容厚重的优质高考题,这类试题往往具有较好的研究性、探索性和延展性.在课堂教学中,若能引导学生对试题进行适度的引申和推广,将有利于培养学生的归纳推理和类比推理的能力,有利于提高学生自主探究问题和创造性地解决问题的能力.充分挖掘和拓展高考试题的教育功能,体现和展示高考试题的教学价值,这对打造高效课堂、提高教学质量很有裨益.
参考文献: