湖南省岳阳县第一中学2012届高三11月月考试题（理科）

湖南省岳阳县第一中学　邓超华

参考公式：

．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在复平面内，复数

对应的点位于(　　)

A．第一象限                                        B．第二象限

C．第三象限                                        D．第四象限

2.已知条件

，条件

，则

成立的(     )

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既非充分也非必要条件

3. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：

x

1.99

3

4

5.1

6.12

y

1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) A.y＝2x－2       B.y＝()x      C.y＝log2x        D.y＝(x2－1)

4. 下图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（    ）

A．84，4.84               B．84，1.6

C．85，1.6                D．85，4

5. 等差数列

前17项和

，则

A. 3                  B. 6                       C.   17                    D. 51

6. 若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为(　　)

A．8          B．12       C．16        D．20

7.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是(　　)

A．5       B．6      C．7       D．8

8. 在区间

内随机取两个数分别记为

，则使得函数

有零点的概率为（    ）

A．1-

         B．1-

        C．1-

            D．1-

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．双曲线

的离心率为          .

10.设函数

为奇函数，则

        ．

11.在二项式

的展开式中，

的一次项系数是

，则实数

的值为             ．

12. 给出如图所示的程序框图，那么输出的数是________．

13. 已知

的三边长为

，内切圆半径为

（用

），则

；类比这一结论有：若三棱锥

的内切球半径为

，则三棱锥体积

               ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）

14.（坐标系与参数方程选做）

在极坐标系中，点

到直线

的距离为         ．

15.（几何证明选讲选做题）

如图，点B在⊙O上， M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，

，若⊙O的半径为

，OA=

OM ，则MN的长为        ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本题满分12分）

已知函数

的图象的一部分如下图所示.

(1)求函数

的解析式;

(2)当

时,求函数

的最大值与最小值及相应的

的值.

17.（本题满分12分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，

他获得返券的金额记为

（元）.求随机变量

的分布列和数学期望.

18．（本小题满分14分）

如图，

、

为圆柱

的母线，

是

底面圆

的直径，

、

分别是

、

的中

点，

．

（1）证明：

；

（2）求四棱锥

与圆柱

的体积比；

（3）若

，求

与面

所成角的正弦值．

19.（本题满分14分）

,

是方程

的两根, 数列

是公差为正的等差数列，数列

的前

项和为

,且

.

(1)求数列

,

的通项公式;

(2)记

=

,求数列

的前

项和

.

20.（本题满分14分）

已知椭圆

：

的离心率为

，过坐标原点

且斜率为

的直线

与

相交于

、

，

．

⑴求

、

的值；

⑵若动圆

与椭圆

和直线

都没有公共点，试求

的取值范围．

21.（本题满分14分）

已知函数

,

,和直线

：

.

又

.

(1)求

的值；

(2)是否存在

的值，使直线

既是曲线

的切线，又是

的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.

(3)如果对于所有

的

,都有

成立，求k的取值范围.

高三理科数学月考试卷数学试题(理科）答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

D

C

A

C

C

B

1．【解析】答案：D    z＝＝＝－i.故选D.

2．【解析】B

p：

，q：

或

，故q是

p成立的必要不充分条件，故选B.

3．【解析】选D  直线是均匀的，故选项A不是；指数函数

是单调递减的，也不符合要 求；对数函数

的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求.

4．【解析】C去掉最高分和最低分后，所剩分数为84，84，86，84，87，可以计算得平均数和方差.

5．A

6．【解析】答案：C 由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a＋b＝1，从而＋＝(＋)(4a＋b)＝8＋＋≥8＋2×4＝16(当且仅当b＝4a时取“＝”)．

7．【解析】答案：C  依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.

又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：

      解得a＝7.

8．【解析】B；若使函数有零点，必须必须

，即

．

在坐标轴上将

的取值范围标出，有如图所示

当

满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．

于是概率为

．

二、填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）

9．

       10．

             11．1         12．7500

13．

   14．

        15．2

11．【解析】1；由二项式定理，

．

当

时，

，于是

的系数为

，从而

．

12．【解析】由题知，s＝3×1＋3×3＋3×5＋…＋3×99＝7500.

13．【解析】：连接内切球球心与各点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积。答案:

14．【解析】

直角坐标方程 x+y﹣2=0，d=

=

15．【解析】∵

∴

,∵OM=2,BO=

∴BM=4,

∵BM·MN=CM·MA=(

+2)(

-2)=8，∴MN=2

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本题满分12分）

解:(1)由图像知

,

,∴

,得

.

由对应点得当

时,

.∴

;……5分

(2)

=

,………9分

∵

,∴

,………10分

∴当

,即

时,

的最大值为

;当

,即

时,

的最小值

.……12分

17．（本题满分12分）

解：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.

则

.…3分

（1）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.

……6分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是

.

（2）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量

的可能值为0，30，60，90，120.……7分

        … ……10分

所以，随机变量

的分布列为：

0

30

60

90

120

…………12分

其数学期望

  ………13分

18.（本小题满分14分）

解：（1）证明：连结

，

.

分别为

的中点，∴

.

又

，且

.∴四边形

是平行四边形，

即

. ∴

.………4分

（2）由题

，且由（1）知

.∴

，∴

，∴

.

因

是底面圆

的直径，得

，且

，

∴

，即

为四棱锥的高．设圆柱高为

，底半径为

，

则

，

∴

：

.………9分

（3）解一：由(1)(2)可知，可分别以

为坐标轴建立空间直角标系，如图

设

，则

，

，

，从而

，

，由题，

是面

的法向量，设所求的角为

.

则

.…14分

解二：作过

的母线

，连结

，则

是上底面圆

的直径，连结

，

得

，又

，∴

，连结

，

则

为

与面

所成的角，设

，则

，

.……12分

在

中，

．……14分

19．（本题满分14分）

解：(1)由

.且

得

…   2分

,

………  4分

在

中,令

得

当

时,T

=

,

两式相减得

,

…… 6分

.……   8分

(2)

, ……9分

,

,…10分

=2

=

,………13分

……    14分

20．（本题满分14分）

⑴依题意，

：

……1分，不妨设设

、

（

）……2分，

由

得

，

……3分，所以

……5分，

解得

，

……6分．

⑵由

消去

得

……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当

或

……9分，解得

或

……10分。动圆

与直线

没有公共点当且仅当

，即

……12分。解

或

……13分，得

的取值范围为

……14分．……14分

21．（本题满分14分）

解：（1）

,因为

所以

=－2.……2分

(2)因为直线

恒过点（0，9）.先求直线

是

的切线.

设切点为

,……3分

∵

.∴切线方程为

,

将点（0，9）代入得

.

当

时，切线方程为

=9, 当

时，切线方程为

=

.

由

得

，即有

当

时，

的切线

，

当

时，

的切线方程为

…6分

是公切线，又由

得

或

，

当

时

的切线为

，当

时

的切线为

，

，不是公切线， 综上所述

时

是两曲线的公切线  ……7分

(3).（1）

得

，当

，不等式恒成立，

.

当

时，不等式为

，……8分

而

当

时，不等式为

，

当

时,

恒成立，则

          …………10分

（2）由

得

当

时，

恒成立，

，当

时有

设

=

，

当

时

为增函数，

也为增函数

要使

在

上恒成立，则

……12分

由上述过程只要考虑

，则当

时

=

在

时

，在

时

在

时有极大值即

在

上的最大值，……13分

又

，即

而当

,

时

，

一定成立，综上所述

.…14分