皖南八校2011届高三第三次联考数学试题（理）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

                                                                                                       （）    

       A．i                             B．-i                            C．1                            D．-1

2．已知集合

，

，则

=（    ）

       A．

                                                B．

                          

C．

                                     D．

3．“

”是“直线

与直线

相互垂直”的（    ）

       A．充分必要条件                                           B．充分而不必要条件

       C．必要而不充分条件                                    D．既不充分也不必要条件

4．已知双曲线

的离心率为

，则椭圆

的离心率为（    ）

       A．

                         B．

                       C．

                       D．

5．在

中，已知OA=4，OB=2，点P是AB的垂直一部分线

上的任一点，则

=（    ）

       A．6                            B．-6                           C．12                          D．-12

6．已知

中，已知

则

=                （    ）          

       A．30°                        B．60°                         C．120°                       D．30°或150°

 

7．已知

                                                              （    ）          

       A．0                            B．6                            C．8                            D．

8．一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为（    ）                                

       A．

                        B．

                        C．

                        D．

9．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为         （    ）

       A．

                                               B．

            

       C．

                                               D．

10．设x，y满足约束条件

，若目标函数

的最大值为12，则

的最小值为（    ）                                                                                                                                 

       A．

                         B．

                        C．1                            D．2

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡上。

11．

展开式中的常数项等于           。

12．如下图，运行一程序框图，则输出结果为          。

13．已知直线

的参数方程是

（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为

，则直线

被圆C所截得的弦长等于    。

14．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不

能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则没的安排方法有

         种。（用数学作答）

15．关于

，给出下列五个命题：

       ①若

是周期函数；

       ②若

，则

为奇函数；

       ③若函数

的图象关于

对称，则

为偶函数；

       ④函数

与函数

的图象关于直线

对称；

       ⑤若

，则

的图象关于点（1，0）对称。

       填写所有正确命题的序号           。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

16．（本小题满分12分）

        已知直线

与函数

的图像的两个相邻交点之间的距离为

。

   （I）求

的解析式，并求出

的单调递增区间；

   （II）将函数

的图像向左平移

个单位得到函数

的图像，求函数

的最大值及

取得最大值时x的取值集合。

 

 

17．（本小题满分12分）

        某种植企业同时培育甲、乙两个品种杉树幼苗，甲品种杉树幼苗培育成功则每株利润80元，培育失败，则每株亏损20元；乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元，培育失败，则每株亏损50元。统计数据表明：甲品种杉树幼苗培育成功率为90%，乙品种杉树幼苗培育成功率为80%。假设每株幼苗是否培育成功相互独立。

   （I）求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率；

   （II）记

为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润，求

的分布列及其期望。

 

 

 

18．（本小题满分13分）

如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，点F在CE上，且

平面ACE。

   （I）求证：

平面BCE；

   （II）求二面角B—AC—E的正弦值；

   （III）求点D到平面ACE的距离。

 

 

19．（本小题满分13分）

    已知数列

的前n项和为

   （I）求

的通项公式；

   （II）数列

，求数列

的前n项和

；

   （III）若

对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。

 

 

 

20．（本小题满分12分）

已知椭圆

的右焦点为F₂（1，0），点

在椭圆上。

   （I）求椭圆方程；

   （II）点

在圆

上，M在第一象限，过M作圆

的切线交椭圆于P、Q两点，问|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由。

 

 

 

21．（本小题满分13分）

已知

   （I）a=2时，求

和

的公共点个数；

   （II）a为何值时，

的公共点个数恰为两个。

 

 

 

参考答案

1. D   2．C   3． B  4．C  5．B   6．A   7．D   8．A   9．.D   10．A

11．

        12．

         13． 4             14． 50            15．①③

16．（Ⅰ）

由题意可知函数的周期

，即

所以

令

其中

，解得

其中

即

的递增区间为

（Ⅱ）

则

的最大值为

，

此时有

，即

即

，其中

.解得

（

）

所以当

取得最大值时

的取值集合为

17．（Ⅰ）

（Ⅱ）

的可能取值为230，130，30，-70

的分布列

	230	30	130	-70
P	0.9×0.8	0.9×0.2	0.1×0.8	0.1×0.2

即:

	230	30	130	-70
P	0.72	0.18	0.08	0.02

期望.E

=230×0.72+30×0.18+130×0.08+(-70)×0.02=180

18．（I）

    

（II）连结AC、BD交于G，连结FG，

∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，   ∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AC，∴AC⊥平面AFG

∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由(I)可知，AE⊥平面BCE，

∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=

，

在直角三角形BCE中，CE=

在正方形ABCD中，BG=

，在直角三角形BFG中，

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，

D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，

线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离.

故D到平面的距离为

.

另法：用等体积法亦可。

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为z轴，AB所在直线为x轴，过O点平行于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.

面BCE，BE

面BCE，

，

在

的中点，

设平面AEC的一个法向量为

，

则

       令

得

是平面AEC的一个法向量.

       又平面BAC的一个法向量为，

        

       ∴二面角B—AC—E的正弦值为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴

，

∴点D到平面ACE的距离

19．解答：（1）由

易求:

    代入

得

 

（2）数列

    

于是

两式相减得

（3）

∴当n=1时，

当

_时,即,

,_所以

∴对一切正整数n，

取最大值是

又

即

20. （1）

右焦点为

左焦点为

，点

在椭圆上

，

所以椭圆方程为

（2）设

连接OM，OP，由相切条件知：

同理可求

所以

为定值。

21.  (1) 联立

得

整理得

即联立

求导得

到极值点分别在-1和

，且极大值极小值都是负值。故交点只有一个。

(2)联立

得

整理得

即联立

如图：求导h(x)可以得到极值点分别在-1和

处，画出草图

 

当

时

与

仅有一个公共点（因为（1，1）点不在

曲线上）

故

时恰有两个公共点。

2011-04-26