标量函数的梯度

方向导数的计算公式

上一节曾经讲到，形如(1)式和(2)式给出的只是方向导数和梯度的定义式，要用它们计算方向导数并不是一件容易的事情。要计算方向导数，还需要进一步寻找更清晰明了的表达式。

现在讨论方向导数的具体计算公式。假定在空间中某点P处自变量沿

方向发生了一个无穷小的改变

，相应的位置矢量的改变

。用

标记

在直角坐标系中的方向角，则有

计算方向导数

于是，位置矢量的改变

函数值的相应的变化

引入偏导数运算符号

它其实就是由对三个方向取方向导数构成的矢量运算符号。引入偏导数运算符号之后，上式右边最后一个括号内的运算可以简记为

，这是一个用标量函数构造的矢量。这样，函数值的改变就可以简写成

。由

马上就可以得到，函数沿

方向的方向导数

                        (3)

这正是计算方向导数的基本公式。

梯度的算符表达式

上面我们通过函数的方向导数定义了对标量场的一种运算：对任意一个标量场，可以构造一个矢量

。这是一个什么样的矢量呢？它的意义又是什么呢？

梯度的计算

考虑一个函数在任意点P沿坐标轴

方向的方向导数。根据(1)式，这个方向导数与函数沿过P点的等值面在P点的法线方向的方向导数之间有这样的关系：

其中

是

与

的夹角。同样，函数沿另外两个坐标轴方向的方向导数也有类似的表达式：

和

是

对另外两个坐标轴的方向角。把这些结果用到

的定义式：

结果发现，

正是标量函数在P点的梯度。这样，我们就可以把对一个标量函数的梯度简记为：

                        (4)

这个简记符号也给出了对一个标量函数取梯度的直接的具体的计算公式。由于这个原因，把

左边的数学运算符号称为梯度算符。