勒让德方程的正则解

我们已经讨论过常微分方程在奇点附近的正则解的求解原则，接下来让我们看一个具体的例子。考察勒让德方程在 z = 1 邻域内的解：

由于 z = 1 是方程的正则奇点，因此，第一个解必定是这样的：

对这个级数求一阶和二阶导数：

由于我们现在是在 z=1 的邻域求解，因此，还要把两个系数按照 (z-1)ⁿ 的形式展开：

把这些结果代入微分方程中：

把得到的级数方程稍做整理：

引入一个新的求和指标 n=k+1，改写第二个级数的形式，并且把第一个级数的第一项分离出来：

在上述方程中，把两个级数加起来，就构造出级数方程的一个新的形式。一个幂级数方程成立的前提是每一个幂次的系数恒等于 0。第一项等于 0 称为指标方程，由于 c₀≠0，它给出 ρ=0。把这个结果代入级数部分，让每一个幂次的系数等于0，就得到了系数的递推关系：

由此得到勒让德方程在 z = 1 的邻域内的第一个解：

作为对这个解的细节的认识，假定 

，请写出这个解的详细表达式。

有了常微分方程的第一个解，就可以通过积分的方法求它的第二个解了。对于勒让德方程，它的第一个系数

对这个系数做不定积分：

就得到方程的第二个解：

对于 

，从系数的递推关系容易得到，除了 c₀≠0 外，其余的系数都等于0。于是，方程的第一个解 w₁=c₀。由此可以得到方程的第二个解：

其中 B=A/c₀。

对于 

，由递推关系可以得到 c₁=c₀，其余的系数都等于0。由此得到方程的第一个解 w₁=c₀z。有了第一个解，通过积分就得到第二个解：

其中 B=A/c₀。

对于

 ，第二个解的积分表达式会是怎样的呢？