​跳水时的下沉深度

跳水运动员在水中的下沉深度是一个相当有趣并且非常有用的问题。

人体的平均密度大约是 ，与水的密度基本相同。因此，如果你不慎掉到水里而碰巧又不会游泳，那就千万不要徒劳地挣扎。你只需要安静地平躺在水面上，把四肢伸展开，双脚轻轻地在水面上下抖动，并保持面部露出水面，基本上就不会下沉，余下的事情就是等待救援的到来。当然，跳水运动员就不需要这样了。

作为一个简化模型，设想有一个密度与水相同的物体从水面上方 的高度处自由下落。当物体在水中运动时，并不像在空中运动时那样，可以忽略空气的阻力。研究表明，水对在其中运动的物体有粘滞阻力，阻力的大小正比于速率的平方：。其中 与摩擦系数类似，是一个与液体和下沉物体的性质有关的参数。请研究当物体在掉进水中后下沉时深度与速率随时间变化的函数关系。

选择水面为原点，竖直向下建立一维坐标系。由高中的物理知识可知，物体下沉的初始速率满足 。当物体下沉时，它会受到三个力的作用：自身的重力、物体在水中的浮力以及水对运动物体的粘滞阻力。因此，一个在水中下沉的物体将受到合力

由于这个物体的密度与水的密度相同，当它在水中运动时，它排开的水的重量与他自身的重量相同，因此，水对它的浮力与它自身的重力相等：。于是，当物体下沉时，它的动力学方程为：

将动力学微分方程整理后转换成运动学微分方程：

把上述运动学微分方程改写成

对方程的两边从初始时刻到任意时刻积分，就可以得到速率与时间的函数关系：

再把这个关系改写成

从初始时刻到任意时刻积分这个方程，就得到深度与时间的依赖关系：

你能否利用这个简化模型来规划建设一个可供跳水运动使用的游泳池？