载流圆环激发的磁场

对一个圆环电流，将毕奥—萨伐尔定律中的物理量用解析表达式表示，求解这个载流圆环在其轴线上激发的磁感应强度。

在《圆环电流激发的磁场》一文中，我们根据物理图象对毕奥—萨伐尔定律中各个物理量之间的关系进行分析，得到了一个可以进行积分运算的表达式。但是，在许多问题中，物理量之间的关系往往很复杂，或者物理图象并不明显，致使这种分析问题的方法难以实施。在这种情况下，应该根据问题的性质建立适当的坐标系，写出各个物理量的解析表达式，再利用矢量运算的法则得到我们想要的表达式。

接下来，我们就利用这种方法，将毕奥—萨伐尔定律中的物理量用解析表达式表示，重新求解这个载流圆环在其轴线上激发的磁感应强度。

由于圆环电流具有轴对称性，因此，它激发的磁场也具有同样的对称性。根据问题的对称性，以载流圆环的圆心为原点，轴线为 轴建立柱坐标系， 轴的正向按照右手螺旋法则确定：右手的四指沿电流的流动方向把握圆环电流，与四指垂直的大拇指所指的方向就是 轴的正向。在坐标系的这种选择下，毕奥—萨伐尔定律中各个矢量就可以解析地表示成：

公式中的 是在每一个电流元所在的位置处在方位角方向上 (也就是载流圆环所在的圆周的切向上) 的单位矢量。由柱坐标系中三个单位矢量之间的关系不难得到：

于是，载流圆环上每一个电流元在轴线上激发的磁感应强度：

在表达式的右边，第二项是磁感应强度沿 方向的分量，如果注意到以下关系：

这一项的数值正是在《圆环电流激发的磁场》一文中给出的结果：

公式中的第一项是磁感应强度在 方向上的分量。显然，在这一项中，当沿着圆环积分时，只有 是变化的。在力学问题中讨论圆周运动时曾经讲到，对圆轨道上的运动，可以用极坐标系来描写。在建立了极坐标系之后，方位角方向 (切向) 上的单位矢量 的微分

另一方面， 是一个单位矢量，虽然在圆周上的各点处， 的方向不一样，但是，当沿着圆周积分一周时， 的方向回到原来的方向。因此， 沿圆周积分一周的结果等于零。

根据以上分析，对磁感应强度的微分沿着圆环积分一周，就得到整个载流圆环在轴线上激发的磁感应强度：

积分中已经利用了对角度积分一周等于 这个结果。

我们看到，用解析的方法求解物理问题，能够使我们摆脱对各个物理量之间的空间关系的构想，弥补了我们在空间想象力方面的不足，极大地方便了对问题的求解。